§2實際問題中的函數模型課后訓練鞏固提升1.某工廠6年來生產某種產品的情況是:前3年年產量的增長速度越來越快,后3年年產量保持不變,則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(單位:年)的函數關系圖象正確的是().答案:A2.已知某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表:x123…y125…則下面的函數關系式中,能表達這種關系的是().A.y=log2(x+1) B.y=2x-1C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1解析:代入數值檢驗,把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3代入D選項,符合題意.答案:D3.某商店出售A,B兩種價格不同的商品,由于商品A連續兩次提價20%,同時商品B連續兩次降價20%,結果都以23元/件售出,若商店同時售出這兩種商品各一件,則與價格不升不降時的情況比較,商店盈利情況是().A.多賺約6元 B.少賺約6元C.多賺約2元 D.盈利相同解析:設A,B兩種商品的原價分別為a,b,則a(1+20%)2=b(1-20%)2=23,解得a=23×2536,b=23×2516,則a+b-答案:B4.(多選題)某種產品30天的銷售情況如圖所示,圖①是產品日銷售量y(單位:件)與時間t(單位:天)的函數關系圖象,圖②是一件產品的銷售利潤z(單位:元)與時間t(單位:天)的函數關系圖象.已知日銷售利潤=日銷售量×一件產品的銷售利潤,則下列說法正確的有().圖①圖②A.第24天的銷售量為200件B.第10天銷售一件產品的利潤是15元C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等D.第30天的日銷售利潤是750元解析:由題中圖①可知日銷售量y與時間t的關系為y=25由題中圖②可知一件產品的銷售利潤z與時間t的關系為z=-∴當t=24時,y=200,A正確;當t=10時,z=15,B正確;當t=12時,日銷售利潤為256×12+100×(-12+25)=當t=30時,日銷售利潤為(-253×30+400)×5=750(元),故C錯誤,D正確答案:ABD5.某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象如圖所示.假設其關系滿足指數函數模型,并給出下列說法:①此指數函數的底數為2;②在第5個月時,野生水葫蘆的面積就會超過30m2;③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個月;④設野生水葫蘆蔓延到2m2,3m2,6m2所需的時間分別為t1,t2,t3,則有t1+t2=t3;⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度.以上說法正確的是().A.①③⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④解析:①說法正確.∵函數關系滿足指數型函數模型,∴可設函數解析式為y=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1).由題圖知函數的圖象經過點(1,2),(2,4),(3,8),分別代入函數解析式,可得a=1,b=2,c=0.∴函數解析式為y=2x,即底數為2.②∵25=32>30,∴②說法正確.③當y=4時,x=2,經過1.5個月,y=23.5<12,故③說法不正確.④由題意知,t1=1,t2=log23,t3=log26,∴有t1+t2=t3,故④說法正確.⑤∵指數函數增長速度越來越快,∴⑤說法不正確.答案:B6.某工廠生產某種產品的固定成本為200萬元,并且生產量每增加一個單位,成本就增加1萬元.又知總收入R(單位:萬元)是產量Q的函數:R(Q)=4Q-1200Q2,則總利潤L(Q)的最大值是萬元,這時產品的產量為.(總利潤=總收入-成本解析:由題意可得,L(Q)=4Q-1200Q2-(200+Q)=-1200(Q-300)2+250,故當Q=300時,總利潤L(Q)最大,最大值為250答案:2503007.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(單位:m/s)和燃料的質量M(單位:kg)、火箭(除燃料外)的質量m(單位:kg)的函數關系式是v=2000·ln(1+Mm).當燃料質量是火箭質量的倍時,火箭的最大速度可達6km/s.解析:當v=6000時,2000·ln(1+Mm)=∴ln1+Mm=3,∴Mm=e3答案:e3-18.蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可以美化居室、凈化空氣,還可以美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行市場調研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10kg)與上市時間t(單位:天)的數據情況如下表:t50110250Q150108150(1)根據表中數據,從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系:Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1);(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本.解:(1)由所提供的數據可知,刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常值函數,且函數Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt均為單調函數,這與表格所提供的數據不符合,所以應選用二次函數Q=at2+bt+c(a≠0)進行描述.將表格所提供的三組數據分別代入函數Q=at2+bt+c,可得150=2