重慶外國語學校高2026屆高一上期12月測試數學試題（滿分150分，120分鐘完成）命題人：高一數學備課組審題人：高一數學備課組第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．請將答案填寫在答題卡相應的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對集合化簡，然后求出即可.【詳解】因為，解得，因為，解得，所以，，所以,故選：D.2.下列四個數中最大是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據對數函數的性質可得，則，結合作差法可得答案.【詳解】因為所以，，所以四個數中最大的是，故選：A.【點睛】本題主要考查對數函數的性質，考查了作差法比較大小，屬于基礎題.3.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據冪函數、對數函數的單調性判斷三個數大小.【詳解】故選：D【點睛】本題考查利用冪函數、對數函數單調性比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.4.函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數奇偶性可排除B；由可排除選項A、D.【詳解】設，定義域為，，所以為奇函數，故排除選項B；又，排除選項A；，排除選項D.故選：C【點睛】本題考查由解析式選函數圖象的問題，涉及到函數的性質，此類題一般從單調性、奇偶性、特殊點的函數值入手，是一道容易題.5.設函數（，且）的圖象過點，其反函數的圖象過點，則等于（）A.6 B.5C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合反函數的性質，得出方程組，即可求解．【詳解】由題意，函數的圖象過點，其反函數的圖象過點，可得，即，解得，則．故選C．【點睛】本題主要考查了對數的運算性質，以及反函數的應用，其中解答中熟記反函數的性質，列出方程組求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．6.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于．經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數據：）（）A.10分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.20分鐘【答案】B【解析】【分析】由時，，代入求得，再由求解.【詳解】解：由題意得：當時，，即，解得，所以，由題意得，即，兩邊取對數得，所以，所以該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為14分鐘，故選：B7.已知正實數滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當且僅當，即時，取得等號，故選:C.8.已知實數，，，，則的整數部分是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到，令，由對勾函數性質可知，，所以求得整數部分為．【詳解】，因為，則，令在上單調遞減，在上單調遞增（當且僅當時取等號）當或時，所以，所以整數部分為2，故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．請將答案填寫在答題卡相應位置．9.若冪函數的定義域為且為奇函數，則可能的值為（）A. B.1 C. D.3【答案】BD【解析】【分析】根據題意，結合冪函數的性質依次分析選項中函數的定義域和奇偶性，即可得出結論.【詳解】根據冪函數定義可知，對于A，若，則，易知其定義域為，令，則，則其為偶函數，不符合題意；對于B，當時，，定義域為，且為奇函數，符合題意；對于C，當時，則，定義域為，不符合題意；對于D，當時，則，定義域為，且為奇函數，符合題意；故選：BD10.下列說法正確的是（）A.函數，是增函數，零點為B.已知實數，則函數的零點所在的區間是C.函數的零點個數為3個D.函數在上存在零點，則正實數的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據指數函數的性質及零點的定義即可判定；對于B，根據零點存在性定理判定即可；對于C,利用函數圖象即可判定；對于D,根據題意建立不等式組，解出即可.【詳解】根據指數函數的性質知，是上的增函數，令，得，則函數得零點為，故A錯誤；因為函數，，易得函數為上的增函數，又，故函數的零點所在的區間是，故B正確；函數的零點個數，為函數與的圖象交點個數，如圖所示，兩個函數圖象有三個交點，故函數有三個零點，則C正確；因為函數在上存在零點，則有，解得，故D正確，故選：BCD.11.已知函數對，都有，且任取，，以下結論中正確的是（）A. B.C. D.若，則【答案】AB【解析】【分析】先根據題設條件得出函數的對稱性和單調性，再利用這兩個函數性質進行函數值比較以及解抽象不等式.【詳解】根據題意，函數對，都有，則函數的圖象關于直線對稱，又任取，則在區間上為減函數，在上為增函數．對于A，，則有，A正確；對于B，在區間上為減函數，在上為增函數，故在時取得最大值，即對，B正確；對于C，在區間上為減函數，又，則，C錯誤；對于D，若，因函數的圖象關于直線對稱，且在上為增函數，在區間上為減函數，則有或，解得或，D錯誤．故選：AB.12.已知函數的零點為，函數的零點為，則下列選項中成立的是（）A. B.C.與的圖象關于對稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】由函數與互為反函數，根據與垂直與反函數的性質結合對稱性可得.【詳解】由，得，，即可得，即有，，而不在的圖象上，故的圖象與的圖象不關于對稱.因為函數與互為反函數，關于對稱，又因與垂直，在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數性質知關于對稱，則，，故選：ABD第П卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應的位置上．13.設函數，則______．【答案】7【解析】【分析】根據分段函數求函數值的方法結合已知解析式計算得出答案.【詳解】函數，，故答案為：7.14.已知，，則x＋2y的值為____________.【答案】3【解析】【分析】根據指對運算化簡，再根據對數運算法則計算的值.【詳解】，.故答案為：3【點睛】本題考查指對數運算，重點考查計算能力，屬于基礎題型.15.若函數，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據題意，求得，得到函數為遞增函數，再由，得到函數為奇函數，把不等式轉化為，得到，即可求解.【詳解】由函數，可得，所以函數為上的單調遞增函數，又由，所以為奇函數，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.16.已知函數是偶函數，若函數的圖象與直線沒有交點，求的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】由奇偶性求得參數，問題轉化為方程無實數解，再變形轉化為新函數的圖象與直線無交點，從而只要求得函數的值域即可得．【詳解】，即對于任意恒成立．，，，由題意知方程即方程無解．令，則函數的圖象與直線無交點．任取，且，則．，在上是單調減函數．．的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．其中，17題10分，18，19，20，21，22各12分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案填寫在答題卡相應的位置上．17.已知是定義域為的奇函數，當時，.(1)寫出函數的解析式；(2)若方程恰3有個不同的解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函數的定義求解析式，即設，則有＞0，利用可求得，然后寫出完整的函數式；（2）作出函數的圖象，確定的極值和單調性，由圖象與直線有三個交點可得的范圍．【詳解】解：(1)當時，，是奇函數，.(2)當時，，最小值為；當，，最大值為.據此可作出函數的圖象，如圖所示，根據圖象得，若方程恰有個不同的解，則的取值范圍是.【點睛】本題考查函數奇偶性，考查函數零點與方程根的關系．在求函數零點個數（或方程解的個數）時，可把問題轉化為一個的函數圖象和一條直線的交點個數問題，這里函數通常是確定的函數，直線是動直線，由動直線的運動可得參數取值范圍．18.若，且．（1）求的最小值及對應的的值；（2）當取何值時，，且．【答案】18.當時，最小值為19.【解析】【分析】（1）代入利用對數的運算性質即可得出．進而利用二次函數與對數函數的單調性即可得出．（2）由題意知：，利用一元二次不等式的解法、對數函數的單調性即可得出.【小問1詳解】．由已知得．又．故．當，即時，有最小值．【小問2詳解】由題意得，所以.19.已知定義在上的偶函數和奇函數滿足，（1）求最小值.（2）若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍.【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）根據奇偶性，聯立方程求出函數的解析式，即可判斷最小值；（2）恒成立問題，分離參數后構造新函數，求出新函數的最小值即可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】函數滿足①，所以，由函數的奇偶性可得，②，由①+②得，，當且僅當，即時等號成立，所以函數的最小值為1.【小問2詳解】因為對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立，令，則函數在上為減函數，所以，所以.20.已知函數是定義域為的奇函數.（1）求，值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函數的性質可得、，代入即可得解；（2）由可判斷函數單調遞減，結合奇函數的性質可得恒成立，即可得解.【詳解】（1）因為函數為奇函數，故，則，所以，又恒成立，所以；（2）因為，函數單調遞減，又恒成立，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以.【點睛】本題考查了利用奇函數的性質求參數，考查了利用函數的單調性與奇偶性解函數不等式，屬于中檔題.21.函數（1）求證：在上是增函數.（2）若函數是關于的方程在有解，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據函數單調性的定義即可證明函數f（x）在（﹣∞，+∞）內單調遞增；（2）將方程g（x）=m+f（x）轉化為m=g（x）﹣f（x），然后求出函數g（x）﹣f（x）的表達式，即可求出m的取值范圍．【詳解】1）（1）任設x1＜x2，，∵x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），即函數在定義域上單調遞增．2）由g(x)=m＋f(x)，∴，當1≤x≤2時，，，【點睛】本題主要考查函數單調性的定義以及對數函數的圖象和性質，考查邏輯推理能力與運算能力．22.已知定義在上的函數恒成立，（1）求