2024年北京師大第二附中數學高三第一學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．2．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．4．若數列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．5．圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．6．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,27．已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．正方形的邊長為，是正方形內部（不包括正方形的邊）一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．若為虛數單位，網格紙上小正方形的邊長為1，圖中復平面內點表示復數，則表示復數的點是（）A．E B．F C．G D．H10．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．12．已知集合，則集合真子集的個數為（）A．3 B．4 C．7 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若關于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數的取值范圍是_______.14．將一顆質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數之和是6的的概率是___．15．已知函數函數，則不等式的解集為____．16．函數在處的切線方程是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點在軸上，且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設，過橢圓右焦點的直線交于、兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.18．（12分）在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.19．（12分）某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽取），所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？20．（12分）已知各項均不相等的等差數列的前項和為,且成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）求數列的前項和.21．（12分）已知x，y，z均為正數．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，.（1）證明：平面；（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發現原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．2、B【解析】

由線面關系可知，不能確定與平面的關系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當時，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.3、D【解析】

根據三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現.4、C【解析】因為，所以是等差數列，且公差，則，所以由題設可得，則，應選答案C．5、A【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

先求出集合U，再根據補集的定義求出結果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．7、C【解析】

不妨設在第一象限，故，根據得到，解得答案.【詳解】不妨設在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力.8、C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標系，設，根據，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標系.設，，，則，，由，即，得.所以=，所以當時，的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查向量的數量積的坐標表示，屬于基礎題.9、C【解析】

由于在復平面內點的坐標為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由，所以，對應點.故選：C【點睛】此題考查的是復數與復平面內點的對就關系，復數的運算，屬于基礎題.10、C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.11、C【解析】

先確定解析式求出的函數值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當時，，所以，故當時，，所以，而，所以，又當時，的極大值為1，所以當時，的極大值為，設方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區分度的壓軸選這題.12、C【解析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有個元素的集合，其真子集的個數為個，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關于原點對稱的函數與函數的圖象有兩個交點，運用參變分離和構造函數，進而借助導數分析單調性與極值，畫出函數圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數若在定義域上有四個不同的解等價于關于原點對稱的函數與函數f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點，聯立可得有兩個解，即可設，則，進而且不恒為零，可得在單調遞增.由可得時，單調遞減；時，單調遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：【點睛】本題考查利用利用導數解決方程的根的問題，還考查了等價轉化思想與函數對稱性的應用，屬于難題.14、【解析】

先求出基本事件總數6×6＝36，再由列舉法求出“點數之和等于6”包含的基本事件的個數，由此能求出“點數之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數6×6＝36，點數之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為【點睛】本題考查古典概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．15、【解析】，，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數解析式，再解不等式即可。絕對值函數一般都去絕對值轉化為分段函數處理。16、【解析】

求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，，.因此，函數在處的切線方程是，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數求函數的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件列出關于和的方程，并計算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設出點和點坐標，運用點坐標計算出，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設，．當直線垂直于軸時，，且此時，，當直線不垂直于軸時，設直線由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為【點睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，并運用根與系數的關系轉化為只含一個變量的表達式進行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計算量.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點為線段的中點.【解析】

（Ⅰ）連結，，，則四邊形為平行四邊形，得到證明.（Ⅱ）建立如圖所示坐標系，平面法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.（Ⅲ）設，計算，，根據垂直關系得到答案.【詳解】（Ⅰ）連結，，，則四邊形為平行四邊形.平面.（Ⅱ）平面，四邊形為正方形.所以，，兩兩垂直，建立如圖所示坐標系，則，，，，設平面法向量為，則，連結，可得，又所以，平面，平面的法向量，設二面角的平面角為，則.（Ⅲ）線段上存在點使得，設，，，，所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行，二面角，根據垂直關系確定位置，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.19、（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】

（1）計算顧客獲得7折優惠的概率，獲得8折優惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優惠的概率，該顧客獲得8折優惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，，則.因為，所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.20、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）設公差為，列出關于的方程組，求解的值，即可得到數列的通項公式；（2）由（1）可得，即可利用裂項相消求解數列的和.試題解析：（1）設公差為.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,考點：等差數列的通項公式；數列的求和.21、（1）證明見解析；（2）最小值為1【解析】

（1）利用基本不等式可得,再根據0＜xy＜1時,即可證明|x+z|?|y+z|＞4xyz.（2）由＝,得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】（1）證明：∵x，y，z均為正數，∴|x+z|?|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，當且僅當x＝y＝z時取等號．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，當且僅當x＝y＝z＝1時取等號，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy?2yz?2xz＝2xy+yz+xz≥1，∴2xy?2yz?2xz的最小值為1．【點睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值，考查了轉化思想和運算能力，屬中檔題．22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）利用線