專題08一元二次方程與三角形綜合的四種綜合應用【根底知識點】一元二次方程是初中數學的重要內容之一，常與其他知識結合，其中一元二次方程與三角形的綜合應用就是非常重要的一種。【類型一】一元二次方程與三角形三邊關系的綜合【例1】三角形兩邊的長是6和8，第三邊滿足方程x2-24x+140＝0，那么三角形周長為〔A.24B.28C.24或28【答案】A【解析】解方程x2-24x+140=0得：x1=10,x2=14當三邊為6、8、10時，符合三角形三邊關系定理，能組成三角形，此時三角形的周長為6+8+10=24當三邊為6、8、14時，6+8=14，不符合三角形三邊關系定理，不能組成三角形，即三角形的周長是24，【變式訓練1】三角形的兩邊分別A.11B.15C.11或15【答案】B【解析】方程2-10x+20x+2，變形得：x-3x-7=0解得：【變式訓練2】假設方程(x-1)(x2-【答案】34<m【解析】∵(x-1)(x2-2x+m)=0，∴x-1=0或x2-2x+m=0，∴原方程的一個根為1，設x2-2x+m=0的兩根為a、b，那么△=4-4m≥0，a+b=2，ab【答案】12,6【解析】解方程x2-12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三邊的邊長為5或7．∵1<第三邊的邊長<7，∴第三邊的邊長為5．∴這個三角形的周長是3+4+5＝12．又32+42＝5【類型二】一元二次方程與直角三角形的綜合【例2】直角三角形的兩條邊長分別是方程x2-14A.6或8B.10或C.10或8D.【答案】B【解析】解：解方程x2-|x+44=0得x1=6,x2=8當8為直角邊時，第三邊=62A.2B.8C.2或8【答案】B【解析】方程x2-3x-4=0因式分解得：(x-4)(x+1)=0，解得：x=4或x=-1〔舍去〕，∴等腰直角三角形斜邊上的高為4，即為斜邊上的中線，那么這個直角三角形斜邊的邊長為8．【變式訓練【答案】3【解析】a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，設斜邊為c，(a2+b2)(a2+b2+1)=12，根據勾股定理得：c2(c2+1)-12=0，即(c2-3)(c2+4)=0.∵c【答案】5或7【解析】方程x2-7x+12=0的兩個根是3和4，也就是Rt△ABC的兩條邊的長是3和4．設第三邊長為m，當3和4都是直角邊時，m=32+42=5【例3】方程x2-A.6B.8C.10D.8或10【答案】C【解析】先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=4，再根據三角形三邊的關系判斷等腰三角形的底為【變式訓練1】假設等腰三角形ABC的兩邊分別是方程x-2x-3=xA.7B.10C.7或8D.8或10【答案】B【變式訓練2】方程x2-9x+20=0的兩個根分別為x1,x2，那么x【答案】180,13或14【變式訓練3】假設等腰三角形底邊長為8，腰長是方程x2-9x+20=0【答案】18【解析】求出方程的解，得出兩種情況，看看是否符合三角形三邊關系定理，求出即可．【類型四】一元二次方程與動態幾何的綜合【例4】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從A沿AC邊向C點以1cm/s的速度移動，在C點停止，點Q從C點開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，在B點停止．〔1〕如果點P，〔2〕如果點P從點A先出發2s，點Q再從點C出發，經過幾秒鐘后S△QPC〔3〕如果點P、Q分別從A、C同時出發，經過幾秒鐘后PQ＝BQ？解：〔1〕P、Q同時出發，經過x秒鐘，

S△QPC=8cm2，由題意得：

126-x?2x=8，∴x2-6x+8=0，解得：

x1=2,x2=4，經2秒點P到離A點1×2=2cm處，點Q離C點2×2=4cm處，經4秒點設P出發t秒時S△QPC=4cm2，那么Q運動的時間為t-2秒，由題意得：126-t?2t-2=4，∴t2-8t+16=0，解得：

t1=t2=4.因此經設經過x秒鐘后PQ=BQ，那么PC=6-xcm,QC=2xcm

，BQ=8-2xcm

，6-x【變式訓練1】如圖，在△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點時，那么同時停止運動。(2)在(1)中△PBQ的面積能否等于7解：(1)設x秒后△PBQ的面積等于4cm2，那么BQ=2x，BP=5-x，根據題意得出：12×2x×(5-x)=4(2)不能，由題意可得出：12×2x×(5-x)=7，整理得出：x2-5【變式訓練2】如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm,?AD=6cm，動點P、Q．分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點(1)P、Q兩點從出發開始到幾秒時，四邊形PBCO的面積為(2)P、Q兩點從出發開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10解：〔1〕設P、Q兩點從出發開始到π秒時四邊形PBCO的面積為33cm2那么PB=16-3xcm,