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文檔簡介
2024屆山東省滕州市第一中學人教版高三數學第一學期期末統考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正項等比數列滿足,若存在兩項,,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.42.已知雙曲線:的焦點為,,且上點滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.53.已知函數,且關于的方程有且只有一個實數根,則實數的取值范圍().A. B. C. D.4.()A. B. C.1 D.5.點為不等式組所表示的平面區域上的動點,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知不等式組表示的平面區域的面積為9,若點,則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.127.設為等差數列的前項和,若,則A. B.C. D.8.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.9.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質量等級,一級空氣質量最好,一級和二級都是質量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數的比重下降了C.8月是空氣質量最好的一個月D.6月份的空氣質量最差.10.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.11.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.12.有一改形塔幾何體由若千個正方體構成,構成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數至少是()A.8 B.7 C.6 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是等比數列,若,,且∥,則______.14.已知平面向量與的夾角為,,,則________.15.數列的前項和為,則數列的前項和_____.16.若,則=____,=___.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數,.(1)若函數在上單調遞減,且函數在上單調遞增,求實數的值;(2)求證:(,且).18.(12分)某校共有學生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調查該校學生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應抽查男生與女生各多少人?(2)根據收集100人的樣本數據,得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數據中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)設函數,,.(1)求函數的單調區間;(2)若函數有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.20.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產線生產同款產品,在產量一樣的情況下通過日常監控得知,生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產線上各抽檢一件產品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品,以挽回損失的平均數為判斷依據,估計哪條生產線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現從,生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結果統計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產一件產品的利潤為,求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.21.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點的直線與相交于、兩點,與相交于、兩點,且與同向,設在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點,、為長軸的兩個端點,過點作的平行線交橢圓于點,過點作的平行線交橢圓于點,請問的面積是否為定值,并說明理由.22.(10分)已知函數,且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設等比數列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當且僅當時,等號成立.故選:D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題,涉及到等比數列的知識,是一道中檔題.2、D【解析】
根據雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運算能力.3、B【解析】
根據條件可知方程有且只有一個實根等價于函數的圖象與直線只有一個交點,作出圖象,數形結合即可.【詳解】解:因為條件等價于函數的圖象與直線只有一個交點,作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點睛】本題主要考查函數圖象與方程零點之間的關系,數形結合是關鍵,屬于基礎題.4、A【解析】
利用復數的乘方和除法法則將復數化為一般形式,結合復數的模長公式可求得結果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復數模長的計算,同時也考查了復數的乘方和除法法則的應用,考查計算能力,屬于基礎題.5、B【解析】
作出不等式對應的平面區域,利用線性規劃的知識,利用的幾何意義即可得到結論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動點到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點睛】本題主要考查線性規劃的應用,根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵.6、C【解析】
分析:先畫出滿足約束條件對應的平面區域,利用平面區域的面積為9求出,然后分析平面區域多邊形的各個頂點,即求出邊界線的交點坐標,代入目標函數求得最大值.詳解:作出不等式組對應的平面區域如圖所示:則,所以平面區域的面積,解得,此時,由圖可得當過點時,取得最大值9,故選C.點睛:該題考查的是有關線性規劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對應的可行域,之后根據目標函數的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優解,從而聯立方程組,求得最優解的坐標,代入求值,要明確目標函數的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據不同的形式,應用相應的方法求解.7、C【解析】
根據等差數列的性質可得,即,所以,故選C.8、D【解析】
先根據向量坐標運算求出和,進而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標運算,引入新定義,屬于簡單題目.9、D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天,月份的空氣質量最差.故本題答案選.10、A【解析】
聯立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎題.11、B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.12、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】若,,且∥,則,由是等比數列,可知公比為..故答案為.14、【解析】
根據已知求出,利用向量的運算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數量積運算,考查計算求解能力,屬于基礎題.15、【解析】
解:兩式作差,得,經過檢驗得出數列的通項公式,進而求得的通項公式,裂項相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡得,檢驗:當n=1時,,所以數列是以2為首項,2為公比的等比數列;,,令故填:.【點睛】本題考查求數列的通項公式,裂項相消求數列的前n項和,解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論,側重考查運算能力.16、12821【解析】
令,求得的值.利用展開式的通項公式,求得的值.【詳解】令,得.展開式的通項公式為,當時,為,即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式,考查賦值法求解二項式系數有關問題,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)見解析【解析】
(1)分別求得與的導函數,由導函數與單調性關系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構造,由對數運算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數在上單調遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數在上單調遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當時,函數在上為減函數,在上為增函數,而,∴當時,,當時,.∴∴即,∴.【點睛】本題考查了導數與函數單調性關系,放縮法在證明不等式中的應用,屬于難題.18、(1)男生人數為人,女生人數55人.(2)列聯表答案見解析,有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據題意結合頻率分布表,先求出二聯表中數值,再結合公式計算,利用表格數據對比判斷即可【詳解】(1)因為男生人數:女生人數=900:1100=9:11,所以男生人數為,女生人數100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數為37人,聯表如下:男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892>3.841,所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【點睛】本題考查分層抽樣,獨立性檢驗,熟記公式,正確計算是關鍵,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】
(1)求出導函數,分類討論即可求解;(2)(i)結合(1)的單調性分析函數有兩個零點求解參數取值范圍;(ii)設,通過轉化,討論函數的單調性得證.【詳解】(1)因為,所以當時,在上恒成立,所以在上單調遞增,當時,的解集為,的解集為,所以的單調增區間為,的單調減區間為;(2)(i)由(1)可知,當時,在上單調遞增,至多一個零點,不符題意,當時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設,則,所以單調遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設,則,所以,解得,所以,所以,設,則,設,則,所以單調遞增,所以,所以,即,所以單調遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導函數處理函數的單調性,根據函數的零點個數求參數的取值范圍,通過等價轉化證明與零點相關的命題.20、(1)(2)①生產線上挽回的損失較多.②見解析【解析】
(1)由題意得到關于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數學期望的性質給出結論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設從,生產線上各抽檢一件產品,至少有一件合格為事件,設從,生產線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設從,生產線上各抽檢件產品,抽到不合格產品件數分別為,,則有,,所以,生產線上挽回損失的平均數分別為:,所以生產線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產量件時利潤的期望值為(元)【點睛】本題主要考查概率公式的應用,二項分布的性質與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.21、(1)
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