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實驗數據處理5、實驗數據處理實驗數據是實驗結果的最終表現，對實驗數據進行記錄、整理、計算、分析、擬合等，從中獲得實驗結果。常見的實驗數據處理方法有：列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法等。5.1列表法列表法就是將一組實驗數據和計算的中間數據依據一定的形式和順序列成表格。列表法可以簡單明確地表示出各種量之間的對應關系，便于分析和發現資料的規律性，也有助于檢查和發現實驗中的問題，這就是列表法的優點。

設計記錄表格時要做到：（1）表格設計要合理，以利于記錄、檢查、運算和分析。（2）表格中涉及的各物理量，其符號、單位及量值的數量級均要表示清楚。但不要把單位寫在數字后。（3）表中數據要正確反映測量結果的有效數字和不確定度。列入表中的除原始數據外，計算過程中的一些中間結果和最后結果也可以列入表中。（4）表格要加上必要的說明。實驗室所給的數據或查得的單項數據應列在表格的上部，說明寫在表格的下部。【例1-3】煤層瓦斯含量自然解吸數據表1-1：煤礦名稱

測試地點

測試日期

測試人員

取煤深度（m）

鉆孔傾角（°）

損失時間（s）

鉆孔直徑（mm）

解吸時長（分）解吸量（ml）解吸時長（分）解吸量（ml）解吸時長（分）解吸量（ml）0

6

13

1

7

15

2

8

17

3

9

20

4

10

25

5

11

305.2作圖法作圖法是在坐標紙上用圖線表示物理量之間的關系，揭示物理量之間的聯系。作圖法既有簡明、形象、直觀、便于比較研究實驗結果等優點，它是一種最常用的數據處理方法。作圖法的基本步驟：（1）選用合適的坐標紙與坐標分度值，選擇合適的坐標紙，包括類型和大小。坐標分度值的選取要符合測量值的準確度，即應能反映出測量值的有效數字位數。（2）標明坐標軸：以橫軸代表自變量（一般為實驗中可以準確控制的量，如溫度、時間等），以縱軸代表因變量（如壓力、解吸量等）），用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，在軸端注明物理量名稱、符號、單位，并按順序標出軸線整分格上的量值。

（3）描點和連線。根據測量數據，用直尺和筆尖使其函數對應的實驗點準確地落在相應的位置。一張圖紙上畫上幾條實驗曲線時，每條圖線應用不同的標記如“+”、“×”、“⊙”、“Δ”等符號標出，以免混淆。盡量不要僅用“·”標實驗點，以免連線時看不清楚。（4）連成圖線：使用直尺、曲線板等工具，按實驗點的總趨勢連成光滑的曲線。由于存在測量誤差，且各點誤差不同，不可強求曲線通過每一個實驗點，但應盡量使曲線兩側的實驗點靠近圖線，并使數據點均勻分布在曲線（直線）的兩側，且盡量貼近曲線。個別偏離過大的點要重新審核，屬過失誤差的應剔去。（5）標明圖名，在圖紙下方或空白位置寫出圖線的名稱，必要時還可寫出某些說明。5.3圖解法在實驗中，當實驗圖線做出以后，可以根據已有圖線，采用解析方法找出物理量之間的函數關系，這種由圖線求經驗公式的方法稱為圖解法。實驗中經常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數曲線、對數曲線。特別是當圖線是直線時，采用此方法更為方便。1、由實驗圖線建立經驗公式的一般步驟（1）根據解析幾何知識判斷圖線的類型；（2）由圖線的類型判斷公式的可能特點；（3）利用半對數、對數或倒數坐標紙，把原曲線改為直線；（4）確定常數，建立起經驗公式的形式，并用實驗數據來檢驗所得公式的準確程度。

2、用直線圖解法求直線的方程如果作出的實驗圖線是一條直線，則經驗公式應為直線方程

y＝kx＋b（1-20）要建立此方程，必須由實驗直接求出k和b，一般有兩種方法。（1）斜率截距法在圖線上選取兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），注意不得用原始數據點，而應從圖線上直接讀取，其坐標值最好是整數值。所取的兩點在實驗范圍內應盡量彼此分開一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中，k為直線的斜率，b為直線的截距。k可以根據兩點的坐標求出。則斜率為：

（1-21）

其截距b為x＝0時的y值；若原實驗中所繪制的圖形并未給出x＝0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點不為零，也可以由式

（1-22）求出截距，求出斜率和截距的數值代入方程中就可以得到經驗公式。3、曲線改直，曲線方程的建立在許多情況下，函數關系是非線性的，但可通過適當的坐標變換化成線性關系，在作圖法中用直線表示，這種方法叫做曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內涵是我們所需要的。例如：

（1）y=axb，式中a、b為常量，可變換成lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數，斜率為b，截距為lga。（2）y=abx，式a、b中為常量，可變換成lgy=（lgb）x+lga，lgy為x的線性函數，斜率為lgb，截距為lga。（3）PV=C，式中C為常量，要變換成P=C（1/V），P是1/V的線性函數，斜率為C。（4）y2=2px式中p為常量，y=±x1/2，y是x1/2的線性函數，斜率為±。（5）y=x/（a+bx），式中a、b為常量，可變換成1/y=a（1/x）+b，1/y為1/x的線性函數，斜率為a，截距為b。（6）s=v0t+at2/2，式中v0，a為常量，可變換成s/t=（a/2）t+v0，s/t為t的線性函數，斜率為a/2，截距為v0。

【例1-4】在恒定溫度下，一定質量的氣體的壓強P隨容積V而變，畫P～V圖。為一雙曲線型如圖1-3所示。用坐標軸1/V置換坐標軸V，則P～1/V圖為一直線，如圖1-4所示。直線的斜率為PV＝C，即玻-馬定律。

圖1-3P～V曲線圖1-4P～1/V曲線P0

1/vPV05.4逐差法對隨等間距變化的物理量x進行測量和函數可以寫成x的多項式時，可用逐差法進行數據處理。例如，一空載長為的彈簧，逐次在其下端加掛質量為m的砝碼，測出對應的長度依次為：，為求每加一單位質量的砝碼的伸長量，可將數據按順序對半分成兩組，使兩組對應項相減有：這種對應項相減，即逐項求差法簡稱逐差法。它的優點是盡量利用了各測量量，而又不減少結果的有效數字位數，是實驗中常用的數據處理方法之一。

注意：逐差法與作圖法一樣，都是一種粗略處理數據的方法，在普通物理實驗中，經常要用到這兩種基本的方法。在使用逐差法時要注意以下幾個問題：1、在驗證函數的表達式的形式時，要用逐項逐差，不用隔項逐差。這樣可以檢驗每個數據點之間的變化是否符合規律。2、在求某一物理量的平均值時，不可用逐項逐差，而要用隔項逐差；否則中間項數據會相互消去，而只到用首尾項，白白浪費許多數據。如上例，若采用逐項逐差法（相鄰兩項相減的方法）求伸長量，則有：可見只有、兩個數據起作用，沒有充分利用整個數據組，失去了在大量數據中求平均以減小誤差的作用，是不合理的。5.5最小二乘法作圖法雖然在數據處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據圖線確定常數時，這種誤差有時很明顯。為了克服這一缺點，在數理統計中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎的實驗數據處理方法。由于某些曲線的函數可以通過數學變換改寫為直線，例如對函數取對數得，與的函數關系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規律。下面就數據處理問題中的最小二乘法原則作一簡單介紹。

設某一實驗中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時，對應的物理量依次取y1，y2，…，yn值。假定對xi值的觀測誤差很小，而主要誤差都出現在yi的觀測上。顯然如果從（xi，yi）中任取兩組實驗數據就可得出一條直線，只不過這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務就是用數學分析的方法從這些觀測到的數據中求出一個誤差最小的最佳經驗式。按這一最佳經驗公式作出的圖線雖不一定能通過每一個實驗點，但是它以最接近這些實驗點的方式平滑地穿過它們。很明顯，對應于每一個xi值，觀測值yi和最佳經驗式的y值之間存在一偏差δyi，稱它為觀測值yi的偏差，即：，（）（1-23）將得出的a和b代入直線方程，即得到最佳的經驗公式。上面介紹了用最小二乘法求經驗公式中的常數a和b的方法，是一種直線擬合法。它在科學實驗中的運用很廣泛，特別是有了計算器后，計算工作量大大減小，計算精度也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種方法計算的常數值a和b是“最優的”，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比較復雜。一般地說，一列測量值的δyi大（即實驗點對直線的偏離大），那么由這列數據求出的a、b值的誤差也大，由此定出的經驗公式可靠程度就低；如果一列測量值的δyi小（即實驗點對直線的偏離小），那么由這列數據求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經驗公式可靠程度就高。直線擬合中的誤差估計問題比較復雜，可參閱其他資料，本教材不作介紹。

為了檢查實驗數據的函數關系與得到的擬合直線符合的程度，數學上引進了線性相關系數r來進行判斷。r定義為：