2022年安徽省初中學業水平考試

數學（試題卷）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A,

B,C.。四個選項，其中只有一個是符合題目要求的.

1.下列為負數的是（）

B.V3C.0D.-5

2.據統計，2021年我省出版期刊雜志總印數3400萬冊，其中3400萬用科學記數法表示為

()

A.3.4xlO8B.0.34xlO8C.3.4xl07D.34x106

3.一個由長方體截去一部分后得到的幾何體如圖水平放置，其俯視圖是（）

A.B.

D.

4.下列各式中，計算結果等于/的是（）

A.a3+a6B?a_3-a6D.48

5.甲、乙、丙、丁四個人步行的路程和所用的時間如圖所示，按平均速度計算.走得最快

的是（

A.甲B.乙C.丙D.T

6兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a，則N2=（）

Aa-90°

Ba-45°

C180°—a

D270°-a

7已知。。的半徑為7,AB是。。的弦，點P在弦A8上.若必=4,PB=6,則OP=

()

A.B.4c.V23D.5

8.隨著信息化的發展，二維碼已經走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方

形組成.現對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成

黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（）

1

A.-BCD

3-l-?-t

9.在同一平面直角坐標系中，一次函數y=ax+q2與的圖像可能是（）

10.已知點。是邊長為6的等邊△ABC的中心，點尸在△ABC外，ZVIBC,△以8,

△PBC,△PC4的面積分別記為So，S,,邑，邑.若51+52+邑=250，則線段。。長

的最小值是（）

C,373

A?孚B.亭

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

H.不等式日於21的解集為

2

12.若一元二次方程2f-4x+m=0有兩個相等的實數根，則

13.如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的

正半軸上，B,C在第一象限，反比例函數y=?的圖象經過點

X

k

C,y=的圖象經過點艮若OC=AC,則％=

14.如圖，四邊形4BCZ）是正方形，點E在邊AZ）上，&BEF是

以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF,8尸分別交CD于點

M,N,過點F作的垂線交A。的延長線于點G.連接。F,

請完成下列問題：

（1）4FDG=°；

（2）若DE=1，DF=2y/2>則=.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

（1\°

15.計算：-V16+（-2）2.

16.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，AABC的頂點均為格點

（網格線的交點）.

（1）將AABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到△44G，請畫出△A4G；

（2）以邊AC的中點。為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉180。，得到△ABaG，

請畫出2a.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.某地區2020年進出口總額為520億元.2021年進出口總額比2020年有所增加，其中

進口額增加了25%,出口額增加了30%.注：進出口總額=進口額+出口額.

（1）設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x,），的代數式填表：

年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元

2020Xy520

20211.25x\.3y

（2）已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額度分

別是多少億元？

18.觀察以下等式：

第1個等式：（2*1+1）?=（2x2+1）?—（2x2）2,

第2個等式：（2x2+1）?=（3x4+l）2—（3x4）2,

第3個等式：（2x3+l）2=（4X6+1）2-（4X6）\

第4個等式：（2x4+l）2=（5x8+l）2—（5x8『，

按照以上規律.解決下列問題：

（1）寫出第5個等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.己知A8為。。的直徑，C為。。上一點，。為BA的延長線上一點，連接CD

(1)如圖1,COLAB,Z￡>=30°,OA=1,求AZ>的長；

(2)如圖2,若OC與。。相切，E為OA上一點，S.ZACD=ZACE,求證：CE±AB.

20.如圖，為了測量河對岸A,8兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C,

測得A,B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點￡>,測得A在。

的正北方向，B在。的北偏西53°方向上.求A,B兩點間的距離.參考數據：

sin37°?0.60,cos37°?0.80，tan37°?0.75.

六、(本題滿分12分)

21.第24屆冬奧會于2022年2月20日在北京勝利閉幕.某校七、八年級各有500名學

生.為了解這兩個年級學生對本次冬奧會的關注程度，現從這兩個年級各隨機抽取〃名學

生進行冬奧會知識測試，將測試成績按以下六組進行整理(得分用x表示)：

A：70<x<75,B：75<x<80,C：80<X<85,

D；85<x<90,E：90<x<95,F：95<x<100,

并繪制七年級測試成績頻數直方圖和八年級測試成績扇形統計圖，部分信息如下：

七年級測試成績頻數直方圖八年級測試成績扇形統計圖

已知八年級測試成績。組的全部數據如下：86,85,87,86,85,89,88

請根據以上信息，完成下列問題：

(1)n—,a—；

(2)八年級測試成績的中位數是:

(3)若測試成績不低于90分，則認定該學生對冬奧會關注程度高.請估計該校七、八兩

個年級對冬奧會關注程度高的學生一共有多少人，并說明理由.

七、(本題滿分12分)

22.已知四邊形ABCO中，BC=CD.連接B。，過點C作BQ的垂線交AB于點E,連接QE.

圖1圖2

(1)如圖1,若DE〃BC,求證：四邊形BC3E是菱形；

(2)如圖2,連接AC,設BQ,AC相交于點凡QE垂直平分線段AC.

(i)求NCE。的大小;

(ii)若AF=AE,求證：BE=CF.

八、(本題滿分14分)

23.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AEZ)和矩形ABCQ構成，矩形的一邊BC為12

米，另一邊A8為2米.以8c所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平

面直角坐標系X。)，，規定一個單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點.

(1)求此拋物線對應的函數表達式；

(2)在隧道截面內(含邊界)修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線

段所示，點4，巴在x軸上，MN與矩形48《儀的一邊平行且相等.柵欄總長/為圖中粗

線段片4，Pf、，AE，長度之和.請解決以下問題：

(i)修建一個“E”型柵欄，如圖2,點8，6在拋物線AE。上.設點耳的橫坐標

為加(0〈加W6),求柵欄總長/與m之間的函數表達式和/的最大值；

(n)現修建一個總長為is的柵欄，有如圖3所示的修建“nq”型或“□”型柵型

兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形48心心面積的最大值，及取最大

值時點6的橫坐標的取值范圍(R在巴右側)

2022年安徽省初中學業水平考試

數學（試題卷）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出4,

B,C.。四個選項，其中只有一個是符合題目要求的.

1.下列為負數的是（）

A.|-2|B.V3C.0D.-5

【答案】D

【解析】根據正負數的意義分析即可；

解：A、卜2|=2是正數，故該選項不符合題意；

B、石是正數，故該選項不符合題意；

C、。不是負數，故該選項不符合題意；

D、-5<0是負數，故該選項符合題意.

故選D.

2.據統計，2021年我省出版期刊雜志總印數3400萬冊，其中3400萬用科學記數法表示為

（）

A.3.4xl08B.0.34xlO8C.3.4xl07D.

34x106

【答案】C

【解析】將3400萬寫成34000000,保留1位整數，寫成axl0"（lWa<10）的形式即可，n

為正整數.

解：3400萬=34（X）0000,保留1位整數為3.4，小數點向左移動7位，

因此34000000=3.4x107,

故選：C.

3.一個由長方體截去一部分后得到的幾何體如圖水平放置其俯視圖是（）

A.B.1..............|

c口D//

【答案】A

【解析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中.

【詳解】解：該幾何體的俯視圖為：

故選：A

4.下列各式中，計算結果等于標的是()

A.a3+a6B.a3-a6C.o'0-aD.

a1'

【答案】B

【解析】利用整式加減運算和基的運算對每個選項計算即可.

A./+。6,不是同類項，不能合并在一起，故選項A不合題意；

B.。3.。6=。3+6=。9,符合題意;

C.a'°-a，不是同類項，不能合并在一起，故選項C不合題意；

D."8+。2=儲8-2=。W，不符合題意，

故選B

5.甲、乙、丙、丁四個人步行的路程和所用的時間如圖所示，按平均速度計算.走得最快

【答案】A

【解析】根據圖象，先比較甲、乙的速度；然后再比較丙、丁的速度，進而在比較甲、丁的

速度即可.

乙在所用時間為30分鐘時，甲走的路程大于乙的走的路程，故甲的速度較快；

丙在所用時間為50分鐘時，丁走的路程大于丙的走的路程，故丁的速度較快；

又因為甲、丁在路程相同的情況下，甲用的時間較少，故甲的速度最快，

故選A

6.兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a,則N2=()

C.1800—aD.

270°-a

【答案】C

【解析】用三角形外角性質得到/3=N1-90。="。。，用余角的定義得到

Z2=90°-Z3=180°-a.

解：如圖，Z3=Zl-90°=a-90°,Z2=90°-Z3=180°-a.

故選：C.

7.已知（D。的半徑為7,AB是。。的弦，點尸在弦AB上.若B4=4,PB=6,則OP=

（）

A.V14B.4C.723D.5

【答案】D

【解析】連接。4,過點。作OCLAB于點C,如圖所示，先利用垂徑定理求得

AC=BC=；AB=5,然后在R/A40c中求得OC=2?，再在用APOC中，利用勾股

定理即可求解.

解：連接。4,過點。作OC_LAB于點C,如圖所示，

則AC=5C=，A6,04=7,

2

?.?徹=4,P8=6,AB=PA+PB=4+6=10,

：.AC=BC=-AB=5,：.PC=AC-R4=5-4=l,

2

在RtMOC中，oc=yJo^-AC2=A/72-52=276，

在Rt\POC中，0P=yloC2+PC2=J(2mf+12=5.

故選：D

8.隨著信息化的發展，二維碼已經走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方

形組成.現對由三個小正方形組成的~~~進行涂色，每個小正方形隨機涂成

黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（）

12

A.-BcD.

3-I-?3

【答案】B

【解析】列出所有可能的情況，找出符合題意的情況，利用概率公式即

可求解.

解：對每個小正方形隨機涂成黑色或白色的情況，如圖所示,□m

共有8種情況，其中恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形情

況有3種,

恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為1

8

故選：B

9.在同一平面直角坐標系中，一次函數了=a%+標與y=/x+a的圖像可能是（）

【答案】D

【解析】分為。＞0和。＜0兩種情況,利用一次函數圖像的性質進行判斷即可.

解：當x=l時，兩個函數的函數值：y^a+cr,即兩個圖像都過點（1,。+/）,故選項

A、C不符合題意;

當。＞0時，〃2＞o，一次函數y=ax+/經過一、二、三象限，一次函數yu/x+a經

過一、二、三象限，都與丁軸正半軸有交點，故選項B不符合題意；

當avO時，6Z2＞0?一次函數y=依+。2經過一、二、四象限，與丁軸正半軸有交點,

一次函數y經過一、三、四象限，與y軸負半軸有交點，故選項D符合題意.

故選：D.

注：一次函數'=履+匕的圖像有四種情況:

①當k〉0,匕＞0時，函數丫="+匕的圖像經過第一、二、三象限；

②當人＞0,。＜0時，函數y=H+〃的圖像經過第一、三、四象限；

③當％＜0,5＞0時，函數），=履+。的圖像經過第一、二、四象限；

④當左＜0,〃＜0時，函數y=的圖像經過第二、三、四象限.

10.已知點。是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△48C外，△ABC,△以8,

△PBC,Z\PCA的面積分別記為50,S,,S2,S3.若￡+S2+S3=2SO,則線段OP長

的最小值是（）

A36R5打巧76

A.-B.—C.3,3D.—

【答案】B

【解析】根據5,+S2+邑=2so，可得￡=gs0,根據等邊三角形的性質可求得AABC中

A8邊上的高九和△FB中AB邊上的高質的值，當P在C。的延長線時，0P取得最小值,

OP=CP-OC,過。作OELBC,求得0C=26,則可求解.

解：如圖，

^2~S.PDB+S《BBC，S3=S?PDA+S/0c,

..S]+S?+S3=S]+(SaPDK+S-BOC)+(S^POA+S“/,c)

=S]+(S?PDB+S/DA)+BABOC+S-AOC)

=A+S4PAB+S4ABe

=E+S]+s()

=2$+50=2S0,

設△ABC中A5邊上的高為九，△附8中A8邊上的高為外，

則*=3/18叫=；?6也3%,51=；43也=（?6也,

hy=2kl,

???△A3C是等邊三角形,

??.點P在平行于3且到A8的距離等于我的直線上,

，當點P在co的延長線上時，OP取得最小值，

過。作OE_LBC于E,ACP=h^+h,=1^3.

：0是等邊△ABC的中心，OEVBC

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3：.OC=2OE

2

,/OE2+CE2=OC2.AOE2+32=(2OE)2,解得OE=Q,二OC=26，

：.OP=CP-OC=-y/3-25A=-V3.

22

故選B.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)

X—3

11.不等式——21的解集為_______.

2

【答案】x>5

【解析】根據解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1

可得答案.

去分母，得x-322,

移項，得於2+3,

合并同類項，系數化1,得，啟5,

故答案為：x>5.

12.若一元二次方程2f—4x+m=0有兩個相等的實數根，則機=.

【答案】2

【解析】本題考查了利用一元二次方程根的判別式△=〃-4ac求參數：方程有兩個不相

等的實數根時，AX)；方程有兩個相等的實數根時，△=();方程無實數根時，等

知識.會運用根的判別式和準確的計算是解決本題的關鍵.由方程有兩個相等的實數根可

知，利用根的判別式等于0即可求，"的值，

解：由題意可知：

a=2,b=—4,c—mA=_^ac—Q,/.16—4x2x/?/=0,解得：m—2.

故答案為：2.

13.如圖，平行四邊形0A8C的頂點。是坐標原點，A在

X軸的正半軸上，B,C在第一象限，反比例函數)，=」的

X

k

圖象經過點C,丁=一優工0)的圖象經過點8.若

OC=AC,則A=.

【答案】3

【解析】本題考查反比例函數上的幾何意義，平行四邊形的性質與判定，矩形的判定與性

質，三角形全等判定與性質，掌握反比例函數%的幾何意義，平行四邊形的性質與判定,

矩形的判定與性質，三角形全等判定與性質.

過點C作COLQ4于D,過點B作BELx軸于E,先證四邊

形CDEB為矩形，得出CD=BE,再證RmCOD公RmBAE(HL),

根據S平行四邊彩OCBA=4SAOC￡>=2,再求SAO8A=/S平行四邊形OC8A=1

即可.

解：過點C作CD_LOA于Q,過點8作BEJ_x軸于E,.?.C￡>〃8E,

?.,四邊形ABCO為平行四邊形，J.CB//OA,即CB〃OE,0C=4B,

四邊形CDEB為平行四邊形，

,JCDLOA,，四邊形COEB為矩形，：.CD=BE,

：.在Rti^COD和Rt^BAE中，

OC=AB

CD=EB'

RtLCOD^Rt^BAE(HL),

S&OCI尸S&ABE,

VOC=ACfCDLOA,：.OD=AD,

,*,反比例函數y=—的圖象經過點C,SAOCD^S/iCAD—；,S平行四邊形OCR4=4SAOC￡)=2,

X2

.1.13.3

??S^OBA=~S平行四邊形0C8A=1，??*5AOBE=5AOBA^-SAABE=l+/=2，—2x—=3.

故答案為3.

14.如圖，四邊形ABC。是正方形，點E在邊40上，ABEF是

以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF,BF分別交C。于點

M,N,過點尸作A。的垂線交的延長線于點G.連接OF,

請完成下列問題：

（1）/FDG=°；

（2）若￡＞七=1，DF=2啦，則MN=

【答案】①.45②.—

【解析】

（1）先證WFG=AE=DG,可知△DFG是等腰直角三角形即可知NEDG

度數.

（2）先作F//LCQ于“，利用平行線分線段成比例求得AW；再作于P,證

△仞PFs/\NHF,即可求得NH的長度，MN=MH+NH即可得解.

【詳解】（1）；四邊形ABC。是正方形，.?.NA=90°,AB=AD,：.ZABE+ZAEB=9Q°,

VFG1AG,：.ZG=ZA=90°,

「△BE/是等腰直角三角形，：.BE=FE,ZBEF=90°,

：.NAEB+NFEG=90°；.NFEG=NEBA,

在△GE/中，

"ZA=NG

<ZABE=NGEF,

BE=EF

：./\ABE^/\GEF(A45),

：.AE=FG,AB=GE,

,?,在正方形A8C￡>中，AB=AD：.AD=GE

"：AD=AE+DE,EG=DE+DG,：.AE=DG=FG,

:.NFDG=NDFG=45。.故填：45°.

(2)如圖，作FHLCD于H,：.ZFHD=90°

四邊形OGFH是正方形，

〃DEDM

：.DH=FH=DG=2,：.AGFH,：.——=---,

FHMH

24

：.DM=-,MH=一,

33

作MPLDF^-P,

,/ZMDP=ZDMP=45°,:.DP=MP,

?/DP^MP^DM2,：.DP=MP^—,：.PF=^3L

33

NMFP+NMFH=NMFH+NNFH=45°,：.ZMFP=ZNFH,

y/2572

MPPF

'：NMPF=NNHF=90°,：.AAMPFs/A\NHF,：.——=——即工=zn

NHHF

NH~2

24226

，NH=-,；.MN=MH+NH=-+-=—.

53515

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.計算：--V16+(-2)2.

【答案】1

【解析】原式運用零指數幕，二次根式的化簡，乘方的意義分別計算即可得到結果.

【詳解】-V16+(-2)2

=1-4+4

=1

故答案為：1

16.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，AABC的頂點均為格點

(網格線的交點).

(1)將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到△AgG，請畫出；

(2)以邊AC的中點O為旋轉中心，將AABC按逆時針方向旋轉180°,得到△A與G，

請畫出△人約。2.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】(1)根據平移的方式確定出點A”Bi,G的位置，再順次連接即可得到“，好6；

(2)根據旋轉可得出確定出點A2,%,C2的位置，再順次連接即可得到△A與G.

四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.某地區2020年進出口總額為520億元.2021年進出口總額比2020年有所增加，其中

進口額增加了25%,出口額增加了30%.注：進出口總額=進口額+出口額.

(1)設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x,)，的代數式填表：

年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元

2020Xy520

20211.25xI3y

(2)已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額度分

別是多少億元？

【答案】(1)1.25x+1.3y

(2)2021年進口額400億元，出口額260億元.

【解析】(1)根據進出口總額=進口額+出口額計算即可;

(2)根據2021年進出口總額比2020年增加了140億元，列方程1.25x+1.3)=520+140,然

x+y=520

后聯立方程組＜,解方程組即可.

1.25^+1.3^=520+140

⑴解:

年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元

2020xy520

20211.25x\.3y1.25x+L3y

故答案為：1.25x+1.3y；

(2)解：根據題意1.25x+1.3產520+140,

x+y=520{x-320

[1.25x+1.3y=520+1401y=200

2021年進口額L25x=1.25x320=400億元，2021年出口額是L3y=1.3x200=26()億

元.

18.觀察以下等式：

第1個等式：(2xl+l『=(2x2+1)?-(2x2f,

第2個等式：(2x2+17=(3X4+1)2-(3X4)2,

第3個等式：(2X3+1『=(4X6+1)2-(4X6)2,

第4個等式：(2x4+l)2=(5X8+1)2-(5X8)2,

按照以上規律.解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【答案】(1)(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2

(2)(2n+1)2=[(n+1)-2n+1]2-[(n+1)-2nf,證明見解析

【解析】(1)觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規律即可解答；

(2)觀察相同位置的數變化規律可以得出第〃個等式為

(2〃+爐=[(〃+1).2n+1]2-[(〃+1)-，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右

兩邊變形即可證明.

(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，可知第5個等式為：

(2x5+1)?=(6x10+1)2一(6x10)2,

故答案為：(2x5+l『=(6x10+1)2-(6x10)2：

(2)解：第〃個等式為(2〃+1『=[(〃+1).2"+1]2-[伽+1>2〃『，

證明如下：

等式左邊：(2"+1)2=4〃2+4〃+1,

等式右邊：[(〃+1).2〃+1『一+

=[(/?+l)-4/?+l]xl

=4/+4〃+1,

故等式(2〃+1)2=[(〃+1)?2〃+1]2一[(〃+1)-2〃了成立.

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.已知A8為。。的直徑，C為。。上一點，。為BA的延長線上一點，連接CD.

(1)如圖1,若COLAB,Z￡>=30°,OA=1,求4。的長；

(2)如圖2,若。C與。。相切，E為OA上一點，S.ZACD=ZACE,求證：CE1.AB.

【答案】(1)垂)-1

(2)見解析

【解析】

(1)根據直角三角形的性質(在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半)及

勾股定理可求出0。進而求出4。的長；

(2)根據切線的性質可得OC,CD,根據同一個圓的半徑相等及等腰三角形的性質可得

ZOCA^ZOAC,由各個角之間的關系以及等量代換可得答案.

⑴解:；OA=1=OC,CO1AB,/￡>=30。

：.CD=2-OC=2

OD=>JCD2-OC2=V22-l2=V3

AD=OD-OA=C-1

(2)證明：：Z)C與。。相切C.OCLCD即/AC￡>+/OC4=90°

:OC=OA：.ZOCA=ZOAC

,：ZACD=ZACE：.ZOAC+NACE=90°Z.ZAEC=90°

：.CE±AB

20.如圖，為了測量河對岸A,8兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C,

測得A,B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點￡>,測得A在。

的正北方向，8在。的北偏西53°方向上.求A,8兩點間的距離.參考數據:

sin37°?0.60.cos37°?0.80，tan370-0.75.

【答案】96米

【解析】根據題意可得A4CD是直角三角形，解放A4CZ）可

求出AC的長，再證明ABC。是直角三角形，求出2C的長，

根據AB=AC-2C可得結論.

解：??,A,B均在C的北偏東37。方向上，A在。的正北方

向，且點。在點C的正東方，...AACD是直角三角形，

NBCD=90°-37°=53°,ZA=900-ZBCD=90°-53°=37°,

CDCD90

在RmACD中，---=sinNA,CD=90米，/.AC=----------?-=150米,

ACsinNA0.60

ZCDA=90°,ZBDA=53°,NBDC=90°-53°=37°,

/BCD+ZBDC=370+53°=90°,

NCBO=90°,即ABCD是直角三角形,

—=sinZBDC,BC=CD-sinNBDC?90x0.60=54米，

CD

：.AB=AC-3c=150—54=96米，

答：A,B兩點間的距離為96米.

六、（本題滿分12分）

21.第24屆冬奧會于2022年2月20日在北京勝利閉幕.某校七、八年級各有500名學

生.為了解這兩個年級學生對本次冬奧會的關注程度，現從這兩個年級各隨機抽取〃名學

生進行冬奧會知識測試，將測試成績按以下六組進行整理（得分用x表示）：

A：70Mx<75,B：75Mx<80,C：80<x<85,

D：85<x<90,E：90<x<95,F：95<x<100,

并繪制七年級測試成績頻數直方圖和八年級測試成績扇形統計圖，部分信息如下:

七年級測試成績頻數直方圖八年級測試成績扇形統計圖

已知八年級測試成績。組的全部數據如下：86,85,87,86,85,89,88

請根據以上信息，完成下列問題：

(1)n=,a=；

(2)八年級測試成績的中位數是；

(3)若測試成績不低于90分，則認定該學生對冬奧會關注程度高.請估計該校七、八兩

個年級對冬奧會關注程度高的學生一共有多少人，并說明理由.

【答案】(1)20；4

(2)86.5(3)該校七、八兩個年級對冬奧會關注程度高的學生一共有275人.

【解析】

(1)八年級力組：85〈x<90的頻數為組占35%求出"，再利用樣本容量減去其他

四組人數+2求。=3(20-1-2-3-6)=4即可；

(2)根據中位數定義求解即可；

(3)先求出七八年級不低于90分的人數，求出占樣本的比，用兩個年級總數xU計算即可.

40

(1)解：八年級測試成績。組：85Wx<90的頻數為7,由扇形統計圖知。組占35%,

.??進行冬奧會知識測試學生數為"=7+35%=20,

.\?=1x(20-l-2-3-6)=4,

故答案為：20；4；

(2)解：A、B、C三組的頻率之和為5%+5%+20%=30%V50%,

A、B、C,。四組的頻率之和為30%+35%=65%>50%,

.,.中位數在。組，將。組數據從小到大排序為85,85,86,86,87,88,89,

V20x30%=6,第10與第11兩個數據為86,87,

86+87

中位數為=86.5,

2

故答案為：86.5；

(3)解：八年級氏90<%<95,F：95式》4100兩組占1-65%=35%,

共有20x35%=7人

七年級及90〈尤<95,F：95100兩組人數為3+1=4人，

兩年級共有4+7=11人，占樣本>

40

...該校七、八兩個年級對冬奧會關注程度高的學生一共有^x(500+500)=275(人).

七、(本題滿分12分)

22.已知四邊形A8C。中，BC=CD.連接BD,過點C作8。的垂線交AB于點E,連接

DE.

(1)如圖1,若DE〃BC,求證：四邊形8C￡>E是菱形；

(2)如圖2,連接AC,設8/),AC相交于點F,OE垂直平分線段4c.

(i)求NCEZ)的大小；

(ii)^AF=AE,求證：BE=CF.

【答案】(1)見解析(2)(i)NCEP=60°；(ii)見解析

【解析】(1)先根據OC=BC,CE，BQ,得出。O=B。,再根據“AAS”證明公。。比△QBC,

得出。E=BC,得出四邊形8CCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直的平行四邊形為菱

形，得出四邊形8CDE為菱形；

(2)(i)根據垂直平分線的性質和等腰三角形三線合一，證明NBEG=NDEO=NBEO,

1QAO

再根據/8反升/0后0+/8日9=180°,即可得出NC￡7)=---=60°；

3

(ii)連接E凡根據已知條件和等腰三角形的性質，算出NGEE=15。，得出

NOEF=45°,證明OE=O尸，再證明八8。岸即可證明結論.

(1)證明："：DC=BC,CELBD,：.DO=BO,

VDE//BC,：.ZODE=ZOBC,ZOED=ZOCB,

：.NODE^tSOBCCAAS),:.DE=BC,

四邊形BCDE為平行四邊形，

?JCE1.BD,：.四邊形BCDE為菱形.

(2)(i)根據解析(1)可知，BO=DO,

垂直平分BO,：.BE=DE,

'：B0=D0,：.ZBE0=ZDE0,

DE垂直平分AC,J.AE^CE,

-：EGA.AC,:.NAEG=/DE0,

：.ZAEG=ZDE0=ZBE0,

?go。

ZAEG+ZDE0+ZBEO=180°,:.NCED=-----=60°.

3

(ii)連接EF,

：EG_LAC,.?./￡￡/=90°,NEE4=90°—NGEE,

ZAEF=1800-ZBEF

=180°—NBEC-NCEF

=180°-ZBEC-(ZCEG-ZGEF)

=180°-60°-60°+NGEF

=60°+ZGEF

?：AE=AF,：.ZAEF=ZAFE，90°-ZGEF=60°+ZGEF,:.NGEF=15°,

：.ZOEF=ZCEG-ZGEF=60°—15°=45°,

CEA.BD,：./EOF=NEOB=90°，:.NOFE=90°-ZOEF=45°,

ZOEF=ZOFE,：.OE=OF,

\-AE=CE,

：.ZEAC^ZECA,?/ZEAC+ZECA=ZCEB=60°,ZECA=30°,

NEBO=90°-ZOEB=30°,:.ZOCF=ZOBE=30°,

?;NBOE=NCOF=9(f,：.ABOE^COFCAAS),:.BE^CF.

八、(本題滿分14分)

23.如圖I,隧道截面由拋物線的一部分和矩形4BC￡＞構成，矩形的一邊BC為12

米，另一邊A