*桑茫公式跖

骸課前刪忒

【題目】課前測試

(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=

【答案】|x(316-1)

【解析】

解：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)

=?-I)(34+1)(38+1)

寺(316-1).

故答案為：1x(316-1).

總結：本題考查的是平方差公式的應用，平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等

于這兩個數的平方差，(a+b)(a-b)=a2-b2.

【難度】4

【題目】課前測試

如果a+b+|Vc^l-ll=4V^2+2Vb+T-4,那么a+2b-3c=.

【答案】0

【解析】

解：原等式可變形為：

a-2+b+l+NcT'1|=4\/a-2+2Vb+l-5

(a-2)+(b+1)+|G-1|-4信-2阿+5=0

(a-2)-4孤互+4+(b+1)-2后I+l+|G>l|=0

(曰-2產+(后I-1)2+|G-l|=0;

即：Va—2'2=0,Jb+1'1=0<Vc—1-1=0,

??Va-2=2,Vb+l=l，Vc-l=l，

.1.a-2=4,b+l=l,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2;

.,.a+2b-3c=6+0-3x2=0.

總結：此題較復雜，能夠發(fā)現所給等式的特點，并能正確地進行配方是解答此題的關鍵.

【難度】3

適用范圍北師大版，七年級

知識點概述：本章重點部分是平方差公式和完全平方公式的熟練運用，本章節(jié)要求學生能

獨立推導乘法公式、了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單運算。

適用對象:成績中等偏上的學生

注意事項:需要學生熟練掌握平方差和完全平方公式

重點選講：

f-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①利用公式化簡求值

I

②找規(guī)律

③乘法公式的幾何應用

如衣椅理

摩如出精,鋰1:平右爰公式

\1/

［管.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

歸納：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。

結構特征：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，；另一項互為相反數;

②右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）.

摩如詛精,if2：完全平右公式

亍強?完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

歸納：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍。

結構特征：

左邊是二項式（兩數和（差））的平方；右邊是兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的

兩倍。

礪艘需第

題型1:利用公式化簡求值

223324

心艮據(x-1)(x+1)=x?1,(x-1)(x+x+l)=x-1z(x-1)(x+x+x+l)=x

-1，…的規(guī)律，則可以得出22叫22016+22015+...+23+22+2+1的結果可以表示為

【答案】22018.1

【解析】

22017+22016+22。15+...+23+22+2+1

=(2-1)(22017+22016+22015+...+23+22+2+1)

=220”.1.

故答案為：22。18.1.

總結：考查了多項式乘多項式，本題主要鍛煉學生從已知的題中找規(guī)律，學生平時要注意培

養(yǎng)自己的總結概括能力.

【難度】4

【題目】題型1變式練習1:利用公式化簡求值

簡便計算：80002-16000x7998+79982=

【答案】4

【解析】

解:80002-16000x7998+79982

=80002-2x8000x7998+79982,

二(8000?7998)x(8000-7998),

=2x2,

=4.

故答案為：4.

總結：本題考查了對完全平方公式的靈活運用，主要考查學生運用公式進行計算的能力.

【難度】3

【題目】題型1變式練習2:利用公式化簡求值

2

2

已知x_4x+l=0,那么dX的值是______________

x-4x+1

【答案】擊

【解析】

解：把x2-4x+l=0方程兩邊都除以x得，x+§=4,

兩邊平方得，X2+方■+2=16,

X

所以,x2+-^-=14,

X

91

—_____-

X4-4X2+1xY;y14-410-

故答案為：擊.

總結：本題考查了完全平方公式的應用，把已知條件與所求代數式進行變形出現x互為倒數

的和的形式是解題的關鍵.

【難度】4

題型2:找規(guī)律

如圖，觀察下列各式：

(X-1)(X+1)=x2-1

(X-1)(x2+x+l)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x4-1,

根據前面各式的規(guī)律可得(x-1)(xn+xn-1+...+X+1)=(其中n為正整數).

【答案】X-1-1

【解析】

解：(X-1)(Xn+XnT+...X+1)=Xn+1-1.

故答案為：xn+1-1.

總結：本題考查了平方差公式，發(fā)現規(guī)律：右邊X的指數正好比前邊X的最高指數大1是

解題的關鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習1:找規(guī)律

若mi,m2，…m2oi5是從0,1,2這三個數中取值的一列數，若mi+m2+...+m20i5=1525,

222

(mi-1)+(m2-1)+...+(m2oi5-1)=1510,則在mizm2,...012015中,取值為

2的個數為_____________

【答案】510

【解析】

2

解：?；(m-1)2+(m2-1)2+...+(m2oi5-1)=1510,

.mi,m2，…，m2oi5是從0,1,2這三個數中取值的一列數,

..mi,m2，…，012015中為1的個數是2015-1510=505,

；mi+m2+…+m20i5=1525,

??.2的個數為(1525-505)+2=510個.

故答案為：510.

總結：此題考查完全平方的性質，找出運算的規(guī)律.利用規(guī)律解決問題.

【難度】3

【題目】題型2變式練習2:全等三角形的判定和性質

觀察下歹II各式:(X-1)(x+1)=x2-1；(X-1)(x2+x+l)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+l)

=x4-1...

m

(1)根據上面各式的規(guī)律得：(x-1)(X-1+xm-2+xm-3+...+x+l)=；(其

中n為正整數)；

(2)根據這一規(guī)律，計算1+2+22+23+24+...+268+269的值.

【答案】(1)xm-1(2)27。-1

【解析】

解：(1)(X-1)(Xm-1+Xm-2+Xm-3+...+x2+x+l)=xm-1;

(2)根據上面的式子可得:l+x+x2+x3+...+xn=(xn+1-1)-T(X-1),

.-.l+2+22+...+268+269=(269+1-1)+(2-1)=270一i.

總結本題考查了平方差公式，認真觀察各式根據指數的變化情況總結規(guī)律是解題的關鍵.

【難度】3

題型3:乘法公式的幾何應用

如圖（1）所示在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b）,把拿下的部

分剪拼成一個矩形如圖（2）所示，通過計算兩個圖形陰影部分的面積，驗證了一個等式,

則這個等式是（）

圖⑴圖②

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

【答案】A

【解析】

解曲題可得:a2-b2=(a-b)(a+b).

故選：A.

總結：此題主要考查了平方差公式的幾何背景.解題的關鍵是運用陰影部分的面積相等得出

關系式.

【難度】2

【題目】題型3變式練習1:乘法公式的幾何應用

從邊長為a的正方形內去掉一個邊長為b的小正方形(如圖1),然后將剩余部分剪拼成一

個矩形(如圖2),上述操作所能驗證的等式是()

困1圖2

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

【答案】B

【解析】

解：?從邊長為a的正方形內去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積是：a2-b2,

拼成的矩形的面積是：(a+b)(a-b),

根據剩余部分的面積相等得:a2-b2=(a+b)(a-b),

故選：B.

總結：本題考查了平方差公式的運用，解此題的關鍵是用算式表示圖形的面積，用的數學思

想是轉化思想，即把實際問題轉化成用數學式子表示出來.

【難度】3

【題目】題型3變式練習2:乘法公式的幾何應用

如圖，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,

則整個圖形可表達出一些有關多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：

【答案】a2+2ab=a(a+2b);

a(a+b)+ab=a(a+2b);

a(a+2b)-a(a+b)=ab

【解析】

解：把圖形分割成一個正方形，兩個長方形計算面積，則有：a2+2ab=a(a+2b);

把圖形分割成兩個長方形，一邊長分別是a+b,b，寬都是a，則有2(a+b)+ab=a(a+2b);

用整個圖形的面積減去一個邊長為a,a+b的長方形，得到另外一個長方形,邊長是a,b,

即：a(a+2b)-a(a+b)=ab.

故本題答案為:a2+2ab=a(a+2b);a(a+b)+ab=a(a+2b);a(a+2b)-a(a+b)

=ab.

總結：本題考查了用面積分割法檢驗乘法算式，是學習乘法運算最常見的形式，這種方法形

象直觀，容易理解.

【難度】2

【題目】興趣篇1

如圖，正方形ABCD的邊長為a,點E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為

b(a>b),連結AF、CF、AC.

(1)用含a、b的代數式表示GC=；

(2)若兩個正方形的面積之和為60,即a2+b2=60,又ab=20,圖中線段GC的長;

(3)若a=8,MFC的面積為S,則S=.

【答案】(1)a+b(2)10(3)32

【解析】

解：(1);GC=GB+BC,

.■.GC=a+b

(2)V(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20x2=100

.-.a+b=10

.-.GC=10

(3)S?AFC=S4AFE+S口FGBE+SSBC-S-FGC

=4b(a-b)+b2+^-a2-7-b(b+a)

222

=《ab-7-b2+b2+7-a2--^-b2-《ab

22222

=—x82

2

=32

總結：本題主要考查了完全平方公式運用，解題的關鍵是完全平方公式展開與合并.運用幾

何直觀理解、通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋的知識點.

【難度】3

【題目】興趣篇2

如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年級1-4班的衛(wèi)生區(qū)，學校把它分成大小

不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班

的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為(x-2y)米的正方形，其中0<2y<x.

(1)分別用x、v的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；

(2)求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【答案】(I)x2-4y2x2-4y2(2)8xy

【解析】

解：(1)八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

(2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8xy.

答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xy平方米.

總結：本題考查的是平方差公式的幾何表示，根據幾何圖形表示出相關圖形的面積、正確應

用平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵.

【難度】3

【題目】備選題目1

已知實數x,y滿足方程(x2+2x+3)(3y2+2y+l)，則

x+y=__________________

【答案】

【解析】

4

解：???(x2+2x+3)(3y2+2y+l)=—,

(x+1)2+2][3y2+2y+l]x3=4,

.-.[(x+l)2+2][9y2+6y+3]=4,

22

.?.[(x+l)+2][(3y+l)+2]=4,

V(x+1)2>0,(3y+l)2>0,

/.x+l=0,3y+l=0,

..x=-1i,y=-—1,

4

--X+y='3-

總結：本題考查了完全平方公式，巧妙運用了完全平方公式和非負數的性質，整理成平方的

形式是解題的關鍵.

【難度】3

【題目】備選題目2

若|x+y-4|+(xy-3)2=0,求x?+y2的值.

【答案】