變換域分析：頻域分析：－－－傅里葉變換，自變量為

復頻域分析：－－－拉氏變換,自變量為S=

+j

Z域分析：－－－Z變換，自變量為

S=

+j

第三章傅里葉變換

本章提要周期信號的傅里葉級數傅里葉變換和傅里葉變換的性質周期信號和非周期信號的頻譜分析卷積和卷積定理抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理§3.1引言

根據信號正交函數分解可知，對于某一函數，可以利用它在完備正交函數集中各分量的線性組合來表示，這種表示方法稱為函數的廣義傅里葉級數展開。參看6.3，6.4節三角函數的正交性復指數函數的正交性

§3.2周期信號的FS分析周期信號可展開成正交函數線性組合的無窮級數：

1.三角函數式的傅立葉級數

{cosn

1t,sinn

1t}

2.復指數函數式的傅立葉級數

{ejn

1t}一、三角函數式傅里葉級數:直流分量基波分量n=1

諧波分量n>1直流系數余弦分量系數正弦分量系數周期信號的另一種

三角函數正交集表示狄利克雷條件：.在一個周期內只有有限個間斷點；.在一個周期內有有限個極值點；.在一個周期內函數絕對可積，即

周期函數的頻譜：周期信號的譜線只出現在基波頻率的整數倍的頻率處（離散）。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移。

相位譜幅度譜單邊譜Cn二、指數形式傅里葉級數引入了負頻率由前知利用歐拉公式，并令：指數形式的傅里葉級數的系數周期信號的復數頻譜圖雙邊譜Fn為實數時周期信號的復數頻譜圖的特點引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數學推導；

Cn是實函數，Fn一般是復函數，當Fn是實函數時，可用Fn的正負表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；Fn反映了f(t)傅立葉級數中n

1處虛指數信號幅度和相位，不同的周期信號，級數的形式相同，但Fn不同，Fn反映了周期信號的特征。單邊譜Cn兩種頻譜圖比較：雙邊譜周期信號的FS展開傅氏級數的系數間的關系畫出周期信號的頻譜圖三、周期信號的功率特性P為周期信號的平均功率將周期信號傅里葉級數展開式代入上式有 1.周期信號的平均功率是直流、基波及各諧波分量有效值的平方和。

2.周期信號的功率譜也為離散譜。

3.時域和頻域能量守恒帕賽瓦爾定理四、對稱信號的傅里葉級數三種對稱：偶函數：f(t)=f(-t)奇函數：f(t)=-f(-t)奇諧函數：半周期對稱周期偶函數只含直流和an是實數Fn是實數周期奇函數只含正弦項Fn是虛數任意周期函數有：

偶函數項奇函數項沿時間軸移半個周期；上下反轉；波形不變；半周期對稱；奇諧函數：奇諧函數的波形：T1/2-T1/20tT1/2-T1/20tsin(w1t)T1/2-T1/20tsin(2w1t)奇諧函數的傅氏級數奇諧函數的偶次諧波的系數為0(n為奇數)偶諧函數：沿時間軸移半個周期；波形不變；半周期重疊信號T1/2-T1/20tf(t)f(t)tE/2T解:(n為奇數)(n為奇數）（n為偶數時為0）五、傅里葉有限級數

實際中，n=N,N是有限整數 如果N越大，則其均方誤差愈小如果完全逼近，則n=∞

若用2N＋1項逼近，則誤差函數和均方誤差誤差函數均方誤差只要均方誤差最小，傅立葉級數唯一。例如對稱方波：偶函數且奇諧函數E/2-E/2T1/4-T1/4t只有奇次諧波的余弦項。對稱方波有限項的傅里葉級數N=1N=3N=5有限項的N越大，誤差越小例如:N=11N越大，越接近方波快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發生相對變化時，波形將會失真有吉布斯現象發生不連續點處出現起伏，起伏的頻率隨N

的增大而增加，但起伏峰值不變，其超量為9%§3.3典型周期信號的FS周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號一、周期矩形脈沖信號在一個周期[-T0/2，T0/2]內：Af(t)T0/2t-T0/2Af(t)T0/2t-T0/2Af(t)T0/2t-T0/2周期矩形脈沖對應的傅里葉級數三角形式:指數形式:f(t)t0ET0-T0Fn0Cn0周期矩形脈沖信號頻譜分析離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密，含無窮多條譜線。各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。各譜線的幅度按包絡線變化。過零點為，非周期性。主要能量在第一過零點內。帶寬脈沖越寬，頻帶越窄，反之…Fn0周期矩形的頻譜變化規律：若T不變，改變τ的情況若τ不變，改變T時的情況T對稱方波是周期矩形的特例T1T1/4-T1/4對稱方波奇次余弦對稱方波的頻譜變化規律TT/4-T/4

周期