習(xí)題課3基本不等式【課后精練】基礎(chǔ)訓(xùn)練1.“對?x∈(1,4],不等式x2-mx+m>0恒成立”的充分不必要條件是().A.m>4 B.m<16C.m<4 D.m<2【答案】D【解析】∵x∈(1,4],∴x-1>0.由不等式x2-mx+m>0恒成立,得x2x-1>m∵x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=x-1+1x-1當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí)等號成立∴不等式x2-mx+m>0恒成立時(shí),m<4,此時(shí),m<2是m<4的充分不必要條件.故選D.2.若當(dāng)x>1時(shí),不等式x+1x-1≤a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]【答案】C【解析】不等式x+1x-1≤a有解,即a≥x+1x-1min.∵x>1,∴x-1>0,∴x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí)等號成立,∴a∈[3,+∞)3.某養(yǎng)鴨戶需要在河邊用圍欄圍起一個(gè)面積為200m2的矩形鴨子活動(dòng)場地,面向河的一邊敞開不需要圍欄,則圍欄總長最小需要().A.20m B.40m C.60m D.80m【答案】B【解析】設(shè)此矩形面向河的一邊的邊長為xm,相鄰的一邊的邊長為ym,則xy=200(x>0,y>0).設(shè)圍欄總長為lm,則l=x+2y≥22xy=40,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號成立,此時(shí)x=20,y=10,則圍欄總長最小需要40m.4.已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=ab+1,則a+b的最大值為().A.1 B.2 C.4 D.2【答案】B【解析】因?yàn)閍2+b2=ab+1,所以(a+b)2=3ab+1≤3(a+b)2可得(a+b)2≤4,即-2≤a+b≤2,所以a+b的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立.故選B.5.將一根鐵絲切割成三段圍成一個(gè)面積為2m2,形狀為直角三角形的框架,在下列四種長度的鐵絲中,選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是().A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m【答案】C【解析】設(shè)直角三角形框架的兩直角邊長分別為a,b(a,b>0),周長為l.∵12ab=2,∴ab=4,則l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6.828(m),∴選用最合理的鐵絲長度為6.已知正數(shù)x,y滿足8x+1y=1,則x+2y的最小值為(A.16 B.17 C.18 D.19【答案】C【解析】∵正數(shù)x,y滿足8x+1y∴x+2y=(x+2y)8x+1y=16yx+xy+10≥216yx·當(dāng)且僅當(dāng)16yx=xy,且8x+1y=1,即x=12,故x+2y的最小值為18.7.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站().A.5千米處 B.4千米處C.3千米處 D.2千米處【答案】A【解析】設(shè)y1=k1x,y2=k2x(x為倉庫到車站的距離,x>0),由題意得2=k110,8=10k2,得k1=20,k2=0.8,所以y1=20x,y2費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥20.8x·20當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=20x,即x=5時(shí)等號成立能力拔高8.(多選題)設(shè)a,b為非零實(shí)數(shù),下列不等式恒成立的是().A.a2+b22≥ab B.aC.a+b2≥aba+b【答案】AB【解析】由重要不等式a2+b2≥2ab,可知A正確;a2+b22=2(a2+b2)4=(a2+b2)+(a2+b2)4≥a2+b2+2ab4=(a+b)24=a+b29.五一期間,小紅父母決定勻速駕駛汽車到北京游玩,全段路程為1200km,速度v不能超過120km/h,而汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本為150v2+200元.若使全程運(yùn)輸成本最小,則汽車的行駛速度應(yīng)為().A.90km/h B.100km/hC.110km/h D.120km/h【答案】B【解析】由題意可得,汽車全程運(yùn)輸成本y=1200v·150v2+200=24v+240000v≥224v·240000v=當(dāng)且僅當(dāng)24v=240000v,即v=100km/h時(shí)等號成立,即此時(shí)y的值最小10.若正數(shù)x,y滿足x+y=1,且不等式4x+1+1y-m≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為(A.447 B.275 C.143【答案】D【解析】∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,∴4x+1+1y=12[(x+1)+y]·4x+1+1y=121+4+4yx+1+x+1y≥125+24y當(dāng)且僅當(dāng)4yx+1=x+1y,即x=13,y=∵不等式4x+1+1y-m≥0恒成立,∴4x+1+1ymin≥m,即m≤92.11.寫出一個(gè)關(guān)于a與b的等式,使1a2+9b2是一個(gè)變量,且它的最小值為【答案】a2+b2=1(答案不唯一)【解析】該等式為a2+b2=1,下面證明該等式符合條件.1a2+9b2=1a2+9b2(a2+b2)=1+9+9a2b2+b2a2≥10+29a2b2·b2a2=16,當(dāng)且僅當(dāng)9a212.已知a,b為正實(shí)數(shù),且滿足a+b=1.證明:(1)a2+b2≥12(2)1a+2b【解析】(1)因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,所以a2+b2=12(a2+b2+a2+b2)≥12(a2+b2+2ab)=12(a+b)2=12當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1(2)1a+2b=1a+2b(a+b)=3+2ab+ba≥3+22ab·ba=3+2當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ba,a+b=1,即a=2-1,b=2-2所以1a+2b思維拓展13.甲、乙兩地相距1000km,貨車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過80km/h,已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位:元)由可變成本和固定成本組成,可變成本是速度平方的14,固定成本為a(a>0)元(1)將全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度vkm/h的函數(shù),并指出速度v的取值范圍.(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,貨車應(yīng)以多大的速度行駛?【解析】(1)設(shè)貨車的行駛速度為vkm/h,由題意得可變成本為14v2元,固定成本為a元,所用時(shí)間為1000所以y=1000v14v2+a=100014v+av,v的取值范圍為