試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆四川省遂寧市高三上學期零診考試數學（理）試題一、單選題1．若復數，則z的虛部是（

）A． B． C．1 D．－1【答案】D【分析】由復數除法運算可求得z，根據復數定義確定z的虛部．【詳解】因為，所以z的虛部為－1．故選：D2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由不等式，得，解得，因此，而，所以.故選：C3．“函數在上單調遞減”是“函數是偶函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過求解函數和符合條件的的取值，即可得出結論.【詳解】由題意，在中，當函數在上單調遞減時，，在中，函數是偶函數，∴，解得：，∴“函數在上單調遞減”是“函數是偶函數”的必要不充分條件，故選：B.4．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數圖象判斷其導數的正負情況，即可求得答案.【詳解】由函數的圖象可知當或時，；當時，，等價于或，故不等式的解集為，故選：A5．等差數列?中，?，則（

）A．60 B．30 C．10 D．0【答案】B【分析】本題可由等差數列的性質即中項公式來求解.【詳解】等差數列?中，,即,.故選：B.6．函數的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數的奇偶性和特殊點的函數值求得正確答案.【詳解】的定義域為，是奇函數，圖象關于原點對稱，排除CD選項.，排除A選項，所以B選項正確.故選：B7．某數學興趣小組到觀音湖濕地公園測量臨仙閣的高度.如圖所示，記為臨仙閣的高，測量小組選取與塔底在同一水平面內的兩個測量點.現測得.，m，在點處測得塔頂的仰角為30°，則臨仙閣高大致為（）m（參考數據：）A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m【答案】C【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可．【詳解】依題意，中，，所以由正弦定理得，即，解得，在中，，即．故選：C.8．已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】，由于是第二象限角，所以，所以.故選：A9．記為等比數列的前項和，若，則（

）A．6 B． C． D．18【答案】D【分析】設等比數列的公比為，根據條件即可求得，進而求得，利用，即可求得答案.【詳解】設等比數列的公比為，若，則由得，不合題意；故，則由得，則，所以，因為，所以，所以，故選：D10．函數的圖象恒過點，函數的定義域為，，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知，當時，即可求出定點坐標，即可求得的解析式，進而可得的解析式，再結合抽象函數的定義域求得的定義域，結合函數的單調性即可求解.【詳解】當時，即，則，所以恒過定點，則，定義域為，由，得，則的定義域為，則，又在上單調遞增，則在上單調遞增，則，，所以函數的值域為.故選：C11．如圖，△ABC中，，，P為CD上一點，且滿足，若AC＝3，AB＝4，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】以為基底表示出，根據可求m的值，再根據數量積的運算律計算即可．【詳解】，，設，則，又，，，解得，，．故選：B12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正弦函數和余弦函數單調性得到，再構造函數，得到其單調性，得到，構造函數，求導得到其單調性，得到，結合對數函數單調性得到，比較出大小.【詳解】因為，而在上單調遞減，故，又在上單調遞增，故，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，，故，即，故，又，令，則，當時，，單調遞減，故，故，因為，所以，即，因為在上單調遞增，故，又，故，故故選：D【點睛】構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小.二、填空題13．已知向量，向量，則.【答案】【分析】先進行向量的加減坐標運算，再利用向量模的坐標公式求解即可.【詳解】由已知向量，向量，得，則.故答案為：14．若實數、滿足約束條件，則目標函數的最大值為.【答案】【分析】先根據約束條件作出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線過點時，最大值即可．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯立，解得，得點，平移直線，當該直線經過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故答案為：.【點睛】本題考查線性規劃中線性目標函數的最值，一般利用平移直線的方法找出最優解，考查數形結合思想的應用，屬于基礎題.15．已知函數若實數滿足則的最大值為【答案】2【分析】根據函數的解析式可求得，再根據指數函數的性質判斷函數的單調性，則又可得，結合基本不等式求最值即可.【詳解】函數的定義域為，則所以又，函數在上為增函數，函數在上為增函數，所以函數在上為增函數，當實數滿足，可得，即，又當時，有最大值，且，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值為.故答案為：.16．已知函數的圖象對稱中心為且過點，函數的兩相鄰對稱中心之間的距離為1，且為函數的一個極大值點.若方程在上的所有根之和等于2024，則滿足條件中整數的值構成的集合為【答案】【分析】先求得，然后求得，【詳解】依題意，函數的圖象對稱中心為且過點，所以，解得，所以.由于函數的兩相鄰對稱中心之間的距離為1，且為函數的一個極大值點，所以，則，由于，，所以，所以，，關于對稱，對于區間，有，由于和的圖象都關于對稱，所以和的交點也關于對稱，由于方程在上的所有根之和等于2024，所以方程在上一共有個根，也即和的圖象有個交點，則當時，和的圖象有個交點，通過觀察圖象可知，與的圖象在區間上分別有個交點，所以或，解得或，所以整數的值構成的集合為.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解，也即根據已知條件求得和，求主要是根據三角函數的周期來求，根據列方程，即可求得；而一般是通過某個特殊值來求.求解方程的根的問題，可轉化為兩個函數圖象交點來進行研究.三、解答題17．已知．(1)求函數在上的單調增區間；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再對圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，若函數的圖象關于直線對稱，求取最小值時的的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角恒等變換化簡函數解析式，由正弦型函數即可求函數在上的單調增區間；（2）根據三角函數的圖象變換與函數的對稱性即可得所求.【詳解】（1），.因為，，所以，故函數在單調增區間為；（2）將向左平移個單位得到將縱坐標不變，橫坐標變為原來的兩倍得到，又因為的圖象關于直線對稱，則，解得：因為，所以當時，，故.18．已知數列的前項和滿足，，為數列的前項和.(1)求數列的通項公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退一相減法求數列通項；（2）利用裂項相消法求和，解不等式.【詳解】（1）當時，，當時，，，綜上所述，；（2）由（1）得，當時，.故，要使，即，解得，又，故取最大值為.19．在中，內角，，的對邊分別為，，，且，．(1)若邊上的高等于1，求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理求出，注意到，由此可以求出，最終由余弦定理即可求解.（2）先由正弦定理以及恒等變換表示，結合已知條件可以求出的范圍，且注意到，由此即可得解.【詳解】（1）由正弦定理，，所以，則，又，所以，因為，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因為銳角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面積的取值范圍是．20．已知函數和分別是函數的極大值點和極小值點(1)若，求函數的極值，并判斷其零點個數；(2)求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為，有1個零點(2)【分析】（1）利用導數求得的極值，結合零點存在性定理求得零點個數.（2）根據根與系數關系化簡求得的取值范圍.【詳解】（1）若，則令，解得.當變化時，的取值情況如下：++單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增且.根據零點存在定理可得：在有一個零點，所以函數的極大值為，極小值為，且有1個零點（2），由題意知，是方程的兩個不等實根，且，，，或.由韋達定理知，，，所以其中，令，則，因為在單調遞增...所以的取值范圍是.【點睛】求解函數極值的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區間，考查這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間；（5）根據單調區間求得函數的極值.21．設，，(1)試討論的單調性(2)若恒成立，求的取值范圍【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增；(2).【分析】（1）討論、，利用導數研究函數的單調性即可；（2）將不等關系化為，令并應用導數研究單調性求值域，進而化為在上恒成立，應用導數求右側最大值，即可得范圍.【詳解】（1）由，則.當時，，所以在上單調遞減.當時，令，得，此時在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由題意，，則，即，.令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，由，即，令，則恒成立，則在單調遞減，所以，.所以，因此，a的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第二問，將不等式化為，并研究的范圍，最后轉化為研究在上恒成立為關鍵.22．在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數且），曲線與坐標軸交于兩點.(1)求的面積；(2)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求以為直徑的圓的極坐標方程.【答案】(1)6(2).【分析】（1）利用曲線的參數方程，利用關系式的應用求出點和的坐標，進一步求出的面積；（2）利用（1）的結論，進一步求出圓的圓心坐標和圓的半徑，進一步求出圓的方程，最后轉換為極坐標方程．【詳解】（1）令，則，解得（舍）或，則，即令，則，解得或（舍），則，即.；（2）由（1）可知圓心坐標為，半徑為則以為直徑的圓的方程為，