第3章勾股定理（壓軸必刷30題5種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．勾股定理（共15小題）1．（2022秋?東臺市期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度按C→A的路徑運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒時(shí)，△ABP的面積為cm2；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，BP恰好平分∠ABC？2．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，∠ACD＝2∠ACB．（1）說明DC＝DG；（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的長．3．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．4．（2022春?張灣區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間．5．（2022秋?嵊州市期中）如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO＝4，BO＝6．（1）求BC，AC的長；（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OE．①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的OD的長．②設(shè)DE交直線BC于點(diǎn)F，連結(jié)OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則BD的長為（直接寫出所有結(jié)果）．6．（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．作AD⊥BC于D，設(shè)BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD→根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的長，再計(jì)算三角形的面積．7．（2022秋?順德區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）問：∠ADC是否為直角？并說明理由；（2）求四邊形ABCD的面積．8．（2023?從江縣校級開學(xué)）定義：如圖所示，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．（1）已知M，N把線段分割成AM，MN，NB，若AM＝2，MN＝4，BN2＝12，則點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由．（2）已知M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝12，AM＝5，求BN的長．9．（2022秋?閔行區(qū)期中）閱讀材料：在直角三角形中，斜邊和兩條直角邊滿足定理：兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．因此如果已知兩條邊的長，根據(jù)定理就能求出第三邊的長．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求得AB＝5．請結(jié)合上述材料和已學(xué)幾何知識解答以下問題：已知：如圖，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，那么AE的長為．10．（2022秋?江陰市期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t．連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長度（結(jié)果保留根號）；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD？11．（2022春?江源區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2秒時(shí)，求PQ的長；（2）求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間．12．（2022秋?上城區(qū)校級期中）已知△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，點(diǎn)M、N分別為AC、EF的中點(diǎn)，且AC＝6，BC＝8．（1）求證：CE＝CF；（2）求證：MN∥AB；（3）請你連接DN，并求線段DN的長．13．（2022秋?江干區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO＝6，BO＝9．（1）求BC，AC的長；（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OE．①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的OD的長．②設(shè)直線DE交直線BC于點(diǎn)F連結(jié)OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則CD的長為（直接寫出結(jié)果）．14．（2022秋?上城區(qū)校級期中）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的長．15．（2023?福田區(qū)校級開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點(diǎn)D在線段AB上從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時(shí)間為t．（1）AB＝cm，AB邊上的高為cm；（2）點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，求t的值．二．勾股定理的證明（共2小題）16．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）操作與探究（1）圖1是由有20個(gè)邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個(gè)大正方形（內(nèi)部的粗實(shí)線表示分割線），請你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c．請你利用圖2中拼成的大正方形證明勾股定理．（3）應(yīng)用：測量旗桿的高度校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一根拉繩，于是他測出了下列數(shù)據(jù)：①測得拉繩垂到地面后，多出的長度為0.5米；②他在距離旗桿4米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米．請你根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)可行性方案，解決這一問題．（畫出示意圖并計(jì)算出這根旗桿的高度）17．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊124頁的部分內(nèi)容．勾股定理的“無字證明”在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，【證明定理】如圖，它由2個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小直角梯形組成，恰好拼成一個(gè)大直角梯形，也能證明勾股定理，請你寫出證明過程．三．勾股定理的逆定理（共4小題）18．（2022秋?榕城區(qū)期中）如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）請求圖中陰影部分的面積．19．（2022秋?冷水灘區(qū)期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）求四邊形ABCD的周長；（2）連接AC，試判斷△ACD的形狀，并說明理由．20．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求證：∠BAC＝90°；（2）點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．21．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）如圖，D為AB上一點(diǎn)，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．四．勾股數(shù)（共1小題）22．（2022秋?蒲江縣校級期中）若直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，則三邊的長為“勾股數(shù)”．構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“其中兩個(gè)數(shù)的平方和（或平方差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”，即滿足以下關(guān)系：（??）2+（??）2＝（??）2；①或（??）2﹣（??）2＝（??）2；②要滿足以上①、②的關(guān)系，可以從乘法公式入手，我們知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右邊也能寫成“（??）2”的形式，那么它就符合②的關(guān)系．因此，只要設(shè)x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，當(dāng)m，n為任意正整數(shù)，且m＞n時(shí)，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的這種關(guān)系式，就可以找出勾股數(shù)．（1）當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，該組勾股數(shù)是；（2）若一組勾股數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和為72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一組勾股數(shù)中最大的數(shù)是2p2+6p+5（p是任意正整數(shù)），則另外兩個(gè)數(shù)分別為，（分別用含p的代數(shù)式表示）．五．勾股定理的應(yīng)用（共8小題）23．（2022春?廣州期中）如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千AB在靜止位置時(shí)，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時(shí)，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．24．（2022春?平山縣期中）在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩10s后船移動到點(diǎn)D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）25．（2022秋?南岸區(qū)校級期中）如圖1，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高為4米，寬為2.8米，（1）請問這輛送家具的卡車能通過這個(gè)通道嗎？為什么？（2）如圖2，若通道正中間有一個(gè)0.4米寬的隔離帶，問一輛寬1.4米高3.9米的車能通過這個(gè)通道嗎？為什么？26．（2022秋?濟(jì)南期中）如圖，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？27．（2023秋?碑林區(qū)校級月考）今年第6號臺風(fēng)“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為28千米/時(shí)，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？28．（2022秋?內(nèi)江期末）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動，頂端靠在對面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對面墻上，頂端剛好落在對面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測得MA＝2.8米，且∠MP