努力成就夢想方法創造奇跡第二章一元二次函數、方程和不等式第03講不等關系與不等式、基本不等式【知識必備】1．實數大小順序與運算性質之間的關系2．不等式的基本性質（1）對稱性：；（2）傳遞性：；（3）可加性：（4）同加性：；（5）可乘性：，（6）同乘性：；（7）乘方性：；（8）開方性：．特別提醒：（1）同向不等式可以相加，不能相減；（2）一個不等式的兩邊同乘以同一正數，不等號方向不變；同乘以同一負數，不等號方向改變．3、基本不等式：，當且僅當時取等號其中叫做正數，的算術平均數，叫做正數，的幾何平均數應用條件：“一正，二定，三相等”通常表達為：（積定和最小）；（和定積最大）考點10比較代數式的大小【思路提示】（1）比較法（作差法和作商法）一種是作差法，解題步驟是：作差—變形—與0比較，變形的方法主要有通分、因式分解、配方等，變形的目的是為了更有利于判斷符號．另一種是作商法，解題步驟是作商—變形—與1比較．作商法通常適用于兩代數式同號的情形．（2）中間量法：利用中間量法比較不等式大小時要根據已知數、式靈活選擇中間變量，指數式比較大小，一般選取1和指數式的底數作為中間值；對數式比較大小，一般選取0和1作為中間值，其實質就是根據對數函數的單調性判斷其與的大小（3）單調性法：①利用函數性質比較數式的大小，得到函數的單調區間是問題求解的關鍵，解題時，指數、對數、三角函數單調性的運用是解題的主要形式；②通過對稱性、周期性，可以將比較大小的數式轉化到同一個單調區間，有利于其大小比較；③導數工具的應用，拓寬了這類問題的命題形式和解題難度，值得我們關注和重視．【例10】1、若，試比較與的大小；2、設，且，試比較與的大小；3、設，則()A．B．C．D．4、若，則_______(填“＞”或“＜”)．考點11不等式的性質及應用【思路提示】(1)在判斷一個關于不等式命題的真假時，先把要判斷的命題和不等式的性質聯系起來考慮，找到與命題相近的性質，并根據性質判斷命題的真假，有時還要用到其他知識。(2)在應用不等式的性質時，不可以強化或弱化不等式成立的條件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正數不等式”才可以相乘．(3)在不等關系的判斷中，賦值法是非常有效的方法．角度1不等式的性質【例11】1、(多選題)已知，則下列不等式中一定成立的是()A．B．C．D．2、若，則下列不等式一定成立的是()A．BC．D．3、閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請依據以上材料解答問題：已知是三角形的三邊，求證：．角度2利用不等式的性質求范圍問題【思路提示】1．利用不等式的性質求取值范圍的方法：由，求的取值范圍，可利用待定系數法解決，即設(或其他形式)，通過恒等變形求得的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得的取值范圍．2．此類問題的一般解法(1)建立待求整體與已知范圍的整體的關系；(2)通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍．4、（1）已知，則的取值范圍是_____，的取值范圍是_____.（2）已知的取值范圍是_____.考點12利用基本不等式求最值角度1配湊法【思路提示】(1)用均值定理求最值要注意三個條件：一正、二定、三相等．“一正”不滿足時，需提負號或加以討論，“二定”不滿足時，需變形，“三相等”不滿足時，可利用函數單調性．(2)求乘積的最值．同樣要檢驗“一正、二定、三相等”，也可以考慮利用消元思想，利用二次函數的解法．【例11】1、已知，則的最大值為_____.2、已知，則的最小值為_____.3、若，則的最大值為_____.4、已知正實數，滿足，則的最小值為.角度2常數代換法求最值【思路提示】(1)常數代換法就是利用常數的變形以及代數式與“1”的積、商都是自身的性質，通過代數式的變形構造和式或積式為定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常數代換法求解最值應注意：①條件的靈活變形，常數化成1是代數式等價變形的基礎；②利用基本不等式求最值時“一正、二定、三相等”的檢驗，否則容易出現錯解4、已知正數滿足，則最小值為_______；5、已知正數滿足，則的最小值為_______.角度3消元法【思路提示】當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，最后利用基本不等式求最值．6、已知正數滿足，則的最小值為________.7、已知正實數滿足，則的最小值是________角度4對稱輪換思想【思路提示】對于具有對稱輪換思想的變量，他們相等的時候，就是取得最值的條件。8已知正數，則的最大值是________考點13利用基本不等式綜合應用【思路提示】求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍．角度1基本不等式與其他知識交匯的最值問