作業(二十一)空間向量的運算(二)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列各式計算正確的是()A．a＋b－(a＋b)＝2aB．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋cC．3(a－b)＋3(a＋b)＝0D．a＋b－(b－3c)＝a＋3cD[A不正確，結果應為0；B不正確，結果應為2a＋2b＋c；C不正確；結果應為6a；D正確，故選D．]2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、DA[因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b．eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→))，由于eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))有一個公共點B，所以A、B、D三點共線．]3．設空間中四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，其中0<t<1，則有()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段BA的延長線上D．點P不一定在直線AB上A[∵0<t<1，∴點P在線段AB上．]4．如圖，在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋(b－a)＋eq\f(1,2)(c－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．]5．下列命題中，正確命題的個數為()①若a∥b，則a與b方向相同或相反；②若eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，則A，B，C，D四點共線；③若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．A．0B．1C．2D．3A[當a，b中有零向量時，①不正確；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))時，A，B，C，D四點共面不一定共線，故②不正確；由p，a，b共面的充要條件知，當p，a，b共面時才滿足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正確．]二、填空題6．在正四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[如圖，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c．]7．若eq\f(1,3)(x－2a)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋b－\f(2,3)x))＋3b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量x＝________．eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c[據向量的加法、減法整理、運算可得x＝eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c．]8．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則化簡eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的結果為________．0[如圖，延長DE交邊BC于點F，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋Aeq\o(D,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]三、解答題9．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，E，F，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝0．[證明]設eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(GH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝0．10．如圖，設A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．[證明]連接BG，延長后交CD于點E．由G為△BCD的重心，得eq\o(BG,\s\up7(→))＝2eq\o(GE,\s\up7(→))．且CE＝ED，∵eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AG,\s\up7(→)))，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AD,\s\up7(→)),2)，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．11．設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b成立的充分條件是()A．|a|＝|b| B．a＝－bC．a∥b D．a＝eq\f(1,2)bD[由a＝eq\f(1,2)b，得b＝2a，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b))(2a)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))(2a)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a．故選D．]12．在空間中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，若點D滿足eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cA[∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c．]13．(多選題)已知m，n是實數，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，則a＝b D．若ma＝na，則m＝n．AB[A和B屬于數乘對向量與實數的分配律，正確；C中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯誤；D中，若a＝0，則m，n沒有關系，錯誤．]14．(一題兩空)已知|a|＝5，a＝λb．(1)若b與a的方向相同，且|b|＝7，則λ的值為________．(2)若b與a的方向相反，且|b|＝7，則λ的值為________．eq\f(5,7)－eq\f(5,7)[由于eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，所以當a，b同向時，所以a＝eq\f(5,7)b；當a，b反向時，所以a＝－eq\f(5,7)b．]15．如圖，四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線？[解]∵M，N分別是AC，BF的中點，而四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))．又eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up