核心考點2超幾何分布核心知識·精歸納超幾何分布(1)定義一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．(2)超幾何分布的均值設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中，不放回地隨機抽取n件產品的次品數．令p＝eq\f(M,N)，則E(X)＝eq\f(nM,N)＝_np__.典例研析·悟方法角度1：超幾何分布及概率計算典例3(多選)袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10，現從中任取4個球，則下列結論正確的是(BD)A．取出的最大號碼X服從超幾何分布B．取出的黑球個數Y服從超幾何分布C．取出2個白球的概率為eq\f(1,14)D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為eq\f(1,14)【解析】根據超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數學模型計算概率，故A錯誤；取出的黑球個數Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故B正確；取出2個白球的概率為eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，故C錯誤；若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，所以總得分最大的概率為eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，故D正確．角度2：超幾何分布的分布列典例4已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層隨機抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查．(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望．【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2，由于采用分層隨機抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取的人數為3,2,2.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，所以隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)隨機變量X的數學期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).方法技巧·精提煉超幾何分布的特點和應用條件(1)超幾何分布的兩個特點：①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機變量表示抽到的某類個體的個數．(2)超幾何分布的應用條件：①兩類不同的對象(物品、人或事)；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體．加固訓練·促提高1.(2023·虹口區二模)端午節吃粽子是我國的傳統習俗．一盤中放有10個外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個，肉粽3個，白米粽4個，現從盤子任意取出3個，則取到白米粽的個數的數學期望為eq\f(6,5).【解析】設取到白米粽的個數為隨機變量X，則X＝0,1,2,3，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(20,120)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(4,120)＝eq\f(1,30)，所以E(X)＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).2.為發展業務，某調研組對A，B兩個公司的掃碼支付情況進行調查，準備從國內n(n∈N，n>0)個人口超過1000萬的超大城市和8個人口低于100萬的小城市中隨機抽取若干個進行統計．若一次抽取2個城市，全是小城市的概率為eq\f(4,15).(1)求n的值；(2)若一次抽取4個城市，①假設抽取出的小城市的個數為X，求X的分布列；②若抽取的4個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率．【解析】(1)從(n＋8)個城市中一次抽取2個城市，有Ceq\o\al(2,n＋8)種情況，其中全是小城市的有Ceq\o\al(2,8)種情況，則全是小城市的概率為eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,n＋8))＝eq\f(8×7,n＋8n＋7)＝eq\f(4,15)，解得n＝7(負值舍去)．(2)①由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,8)C\o\al(4,7),C\o\al(4,15))＝eq\f(1,39)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(3,7),C\o\al(4,15))＝eq\f(8,39)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(2,7),C\o\al(4,15))＝eq\f(28,65)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(1,7),C\o\al(4,15))＝eq\f(56,195)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,8)C\o\al(0,7),C\o\al(4,15))＝eq\f(2,39).故X的分布列為X01234Peq\f(1,39)eq\f(8,39)eq\f(28,65)eq\