PAGEPAGE1浙江省臺金七校聯盟2023-2024學年高一上學期聯考數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.2.下列各組函數是同一個函數的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】A【解析】與定義域和對應關系均相同，是同一函數，故A正確；與定義域不同，對應關系相同，不是同一函數，故B錯誤；與定義域不同，對應關系相同，不是同一函數，故C錯誤；由解得或，則的定義域為或，由且得，則的定義域，∴與定義域不同，不是同一函數，故D錯誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當為奇數時，，，當為偶數時，，若，則，則“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域為，∵，∴奇函數，圖象關于原點對稱，故AC錯誤；∵，故B錯誤，∴D正確.故選：D.6.已知，且，則的最小值為（）A.1 B. C.9 D.【答案】C【解析】因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立．故選：C．7.定義在上的偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵定義在上的偶函數在上單調遞增，且，∴在上單調遞減，且，∴當或時，；當時，，∵，∴或，∴或，∴或，即，則不等式的解集是.故選：A.8.取整函數最早出現在著名科學家阿蘭?圖靈（AlanTuring）在20世紀30年代提出的圖靈機理論中.圖靈機是一種理論上的計算模型，其中操作包括整數運算和簡單邏輯判斷.由于圖靈機需要進行整數計算，因此取整函數成為了必需的工具之一.現代數學中，常用符號表示為不超過的最大整數，如，現有函數在區間上恰好有三個不相等的實數解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】作出函數與的大致圖像：時，，從圖像可知，當，即時，兩個函數的圖像在上恰有三個不同的交點，∴所求范圍為．故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.我們常拿背誦圓周率來衡量某人的記憶水平，如果記圓周率小數點后第位數字為，則下列說法正確的是（）A.是一個函數B.當時，C.D.【答案】ACD【解析】由題意可知，圓周率小數點后第位數字是唯一確定的，即任取一個正整數都有唯一確定的與之對應，因此是一個函數，故A正確；當時，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的函數是奇函數，且時，則下列敘述正確的是（）A.當時B.C.在區間上單調遞減D.函數在區間上的最小值為【答案】BCD【解析】由題知，是奇函數，令，則，所以，故此時，A錯；因為是上的奇函數，所以，B正確；由上述可知時，，，則，因為，所以，，，所以，即，所以在區間上單調遞減，C正確；當時，，當且僅當，即時取等，D正確.故選：BCD.11.下列命題敘述正確的是（）A.且時，當時，B.且時，當時，C.且時，當時，D.且時，當時，【答案】CD【解析】對于A，因為且時，當時，取，所以，則，故A錯誤；對于B，因為且時，當時，取，所以，則，故B錯誤；對于C，因為且時，當時，則，所以，則，故C正確；對于D，存在，，滿足，故D正確.故選：CD.12.若函數在定義域內的某區間上單調遞增，且在上也單調遞增，則稱在上是“強增函數”，則下列說法正確的是（）A.若函數，則存在使是“強增函數”B.若函數，則為定義在上“強增函數”C.若函數，則存在區間，使在上不是“強增函數”D.若函數在區間上是“強增函數”，則【答案】ACD【解析】對于A，由對勾函數的單調性可得，函數在上為增函數，而函數在上為增函數，所以存在使是“強增函數”，如，故A正確；對于B，因為，所以函數在上不增函數，所以不是定義在上的“強增函數”，故B錯誤；對于C，函數在上單調遞增，令，因為，所以函數在上不是增函數，故存在區間，使在上不是“強增函數”，如，故C正確；對于D，若函數在區間上是“強增函數，則函數在上都是增函數，由函數在區間上是增函數，得，解得，因為函數在區間上是增函數，當時，在區間上是增函數，符合題意，當時，因為函數在上都是增函數，所以函數在區間上是增函數，符合題意，當時，，由對勾函數得單調性可知函數在上單調遞增，所以，所以，綜上所述，，因為函數在上都是增函數，所以，所以，故D正確故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.______.【答案】【解析】原式.故答案為：.14.函數的單調遞增區間是______.【答案】（區間開閉都符合）【解析】，由，解得，令，當時單調遞增，當時單調遞減，又在時單調遞增，所以函數的單調遞增區間是.故答案為：（區間開閉都符合）.15.函數當時，實數______.【答案】【解析】令，則，當時，有，解得或（舍去），即，當時，有即，因為，此時無實數解，當，有滿足題意，當時，，不滿足題意，故實數.故答案為：8.16.已知函數與函數，滿足，當和在區間上單調性不同，則稱區間為函數的“異動區間”.若區間是函數的“異動區間”，則的取值范圍是______.【答案】【解析】，若，在上單調遞增，在上單調遞減，滿足要求，若，畫出與的圖象，如下：可以看出兩函數圖象關于軸對稱，要想是函數的異動區間，則，解得，滿足，當時，，，畫出兩函數圖象，可以看出兩函數圖象在上單調性相同，不合要求，舍去，當時，畫出兩函數圖象，可以看出兩函數圖象關于軸對稱，要想是函數的異動區間，故，解得，滿足，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，集合，，或，.（2），，當即時，，則，解得，；當即時，，符合題意；當即時，，則，解得，；綜上，實數的取值范圍為.18.已知二次函數（為實數，且）（1）若，方程有兩個相等的實數根時，求函數的解析式；（2）不等式的解集是，求函數的解析式.解：（1），的圖象關于直線對稱，又根據條件“有兩個相等的實數根”，列方程組：，（2）不等式，即的解集是，即方程有實數根，且，根據韋達定理：，.19.已知函數，其中.（1）當，求函數的值域；（2），求區間上的最小值.解：（1）時，，即，整理得，當時，，當時，由，得，解得，且，綜上，，則的值域是.（2）且，當時，即時，函數在區間上單調遞增，此時；當時，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，此時，綜上所述：20.已知指數函數，且，定義在上的函數是奇函數.（1）求和的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：設且，，，；是定義在上的奇函數，，對恒成立，.（2）恒成立，恒成立，又，可知在上單調遞減，恒成立，恒成立，，.21.天氣漸冷，某電子設備生產企業準備投入生產“暖手寶”.預估生產線建設等固定成本投入為100萬，每生產萬個還需投入生產成本萬元，且據測算若該公司年內共生產該款“暖手寶”萬只，每只售價45元并能全部銷售完.（1）求出利潤（萬元）關于年產量萬個的函數解析式；（2）當產量至少為多少個時，該公司在該款“暖手寶”生產銷售中才能收回成本；（3）當產量達到多少萬個時，該公司所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.解：（1）總銷售額：萬元，總成本：固定成本萬元，∴利潤（2）時，取最小值即可，僅需萬，取22472個.（3）當時，，當時，，當時，，當且僅當時取等號，綜上，當萬個時，利潤最大為410萬.22.定義在的函數滿足：對任意的，都有，且當時，.（1）求證：