PAGEPAGE1北京市通州區2024屆高三上學期期中質量檢測數學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，，則.故選：B.2.已知復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】,故對應的點為，在第三象限，故選：C3.已知向量，，，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為120°【答案】D【解析】A選項，因，則與平行，故A錯誤；B選項，因，故B錯誤；C選項，，又，則，故C錯誤；D選項，，又，則，即與的夾角為120°，故D正確.故選：D.4.已知函數，則（）A.當且僅當，時，有最小值B.當且僅當時，有最小值2C.當且僅當時，有最小值D.當且僅當時，有最小值.2【答案】B【解析】因為，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以當且僅當時，有最小值2.故選：B5.下列命題中的假命題是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，因為指數函數的值域為，所以，，A對；對于B，當時，，B對；對于C，當時，，C錯；對于D，當時，，D對.故選：C.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，因為，所以，即，而，所以.故選：B.7.在平面直角坐標系中，角以為始邊，則“角的終邊過點”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當角的終邊過點時，根據三角函數的定義，可得，充分性成立；當時，為第二象限角或第四象限角，若為第四象限角，則角的終邊不過點，必要性不成立.所以“角的終邊過點”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.下列函數中，在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A,,所以在上單調遞增，故A錯誤，對于B，由于，所以在上單調遞增，B錯誤，對于C，，故在上單調遞減，C正確，對于D，的圖象如下所示：故在單調遞減，在單調遞增，故D錯誤，故選：C9.已知函數是奇函數，且，將的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，所得圖象對應的函數為，則（）A. B.C. D.【答案】A由題意可知，，所以或，由因為，所以，即，故.故選：A.10.已知數列的前項和為，且，則下列四個結論中正確的個數是（）①；②若，則；③若，則；④若數列是單調遞增數列，則的取值范圍是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，當，，兩式相減得，所以，兩式相減得，故①錯誤，當時，令，則，，得，所以，令，則，，得，所以，則，所以，故奇數項是以為首項，2為公差的等差數列，偶數項是以為首項，2為公差的等差數列，則，所以②正確；當時，令，則，，得，所以，令，則，，得，故偶數項是以為首項，2為公差的等差數列，奇數項從第二項開始以為首項，2為公差的等差數列，則，所以③正確；由于，，，則，又數列單調遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以④正確．故選：C．第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知函數，則的定義域為____________.【答案】【解析】依題意可得，，解得且，所以的定義域為.故答案為：.12.已知數列是等比數列，，，則數列的通項公式________；數列的前9項和的值為__________.【答案】171【解析】由，可得，，所以，，故答案為：，171.13.已知實數a，b滿足關于x的不等式的解集為，且滿足關于的不等式的解集為，則滿足條件的一組a，b的值依次為______.【答案】故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）【解析】因為關于x的不等式的解集為，所以，又關于的不等式的解集為，所以，解得，所以滿足條件的一組a，b的值依次為，（答案不唯一，只要滿足就行）故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）14.在等腰中，，，則____________；若點滿足，則的值為___________.【答案】【解析】如圖，由題意等腰中，，則，∵，，∴，∴，即，∵由余弦定理得，∴，即，又因邊長，∴.∴是等邊三角形，則，，∵，∴，，∴.故答案為：；.15.已知函數，，給出下列四個結論：①函數區間上單調遞減；②函數的最大值是；③若關于的方程有且只有一個實數解，則的最小值為；④若對于任意實數a，b，不等式都成立，則的取值范圍是.其中所有正確結論的序號是_______.【答案】①②③【解析】對于①，當時，，二次函數開口向下，對稱軸為，故在區間上單調遞減，①正確；對于②，定義域為R，且，故為奇函數，當時，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，時,時,畫出的圖象如下：由圖象可得的最大值是，②正確；對于③，關于的方程有且只有一個實數解，即有且只有一個交點，在同一坐標系畫出與的圖象，要想有且只有一個交點，則，故的最小值為，③正確；對于④，由題意得，，即，當時，，，，，此時在處的切線方程為，而，故在處的切線方程為，畫出兩函數圖象如下：此時滿足對于任意實數a，b，不等式都成立，故的取值范圍不是，D錯誤.故答案為：①②③三、解答題16.已知函數，.（1）當時，若，求的值域（2）若有兩個零點，分別為，，且，求的取值范圍.解：（1）當時，的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以，所以當，的值為；（2）的兩個零點分別為，且，，即，解得或，故取值范圍為.17.已知函數.（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調區間；（3）比較與的大小，并說明理由.解：（1），所以；（2）的最小正周期,令，解得；令，解得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3），理由如下：由（2）可知的最小正周期,所以，由（2）可知，在上單調遞增，又，所以，即.18.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，再從下面給出的條件①，條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一.（1）求的值；（2）求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）若選①，又因為,所以，所以，由正弦定理得，所以；若選條件②，由余弦定理得，整理得，此時方程無解，即這樣的三角形不存在，所以條件②不能選；若選條件③，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，所以.19.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值；（3）若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由得，又，所以在切線為（2）令，則，故在單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取極小值，無極大值，（3）由得，故，構造函數則，令，則，故當時，，單調遞增，時，單調遞減，故當取極小值也是最小值，，所以，即.20.已知函數，，.（1）求的值；（2）求在區間上的最大值；（3）當時，求證：對任意，恒有成立.（1）解：由得，所以，（2）解：由得，當時，，故在區間上單調遞增，所以，當時，令，則，令，則，故在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，此時在區間上單調遞減，所以，當時，，此時在區間上單調遞增，所以，當時，，此時在區間上單調遞增，在單調遞減，綜上可得：時，，時，時，，（3）證明：要證，即證，即證明，當時，，而，所以，當時，記，則，記，由于，所以當單調遞增，所以，故在單調遞增，故，故，綜上，對任意，恒有21.已知數列的各項均為正數，且滿足（，且）.（1）