實驗題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數據壓縮1實驗目的（1）掌握離散數據的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法（2）使用C++實現數據的Haar小波變換和離散傅里葉變換（3）掌握數據濾波的基本原理和方法（4）掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應用于數據壓縮的基本原理和方法，并且對兩種數據壓縮進行評價2實驗步驟2.1算法原理2.1.1Haar小波變換 （1）平均，細節及壓縮原理 設{x1，x2}是一組兩個元素組成的信號，定義平均與細節為，。則可以將{a，d}作為原信號的一種表示，且信號可由{a，d}恢復，，。 由上述可以看出，當x1，x2非常接近時，d會很小。此時，{x1，x2}可以近似的用{a}來表示，由此實現了信號的壓縮。重構的信號為{a，a}，誤差信號為。因此，平均值a可以看做是原信號的整體信息，而d可以看成是原信號的細節信息。用{a}近似的表示原信號，可以實現對原信號的壓縮，而且丟失的細節對于最終信號的重構不會有重大影響。對于多元素的信號，可以看成是對于二元信號的一種推廣。 （2）尺度函數和小波方程 在小波分析中，引入記號，其中，表示區間[1，0]上的特征函數。定義 稱為Haar尺度函數。由上式可知，都可以由伸縮和平移得到。 小波分析中，對于信號有不同分辨率的表示，當用較低分辨率來表示原始信號時，會丟失細節信息，需要找到一個函數來描述這種信息，該函數稱之為小波函數?；镜男〔ê瘮刀x如下： 則。稱為Haar小波。稱為兩尺度方程，稱為小波方程。（3）Haar小波變換計算方法設是一個長度為(n>1)的離散信號序列，記為，該序列可以用如下的帶有尺度函數來表示：一次小波分解的結果： 對上式積分，由尺度函數的正交性，可得。令k=0，得到。一般的，有 同理 2.1.2傅里葉變換（1）一維連續函數的傅里葉變換定義設f(t)為連續的時間信號，則定義為f(t)的傅里葉變換，其反變換為。（2）一維離散傅里葉變換對連續的時間信號f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設采樣N次，則序列表示為。令n為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：開始開始讀取原始數據數據f(n),變換后A(n)對A(n)小波逆變換IDWT，得f1(n)計算f(n)和f1(n)差異結束圖2Haar小波壓縮數據差異計算流程圖 圖2是計算使用Haar小波進行數據壓縮后，與原始數據差異。圖中的f(n)表示原始數據，A(n)是小波變化結果，f1(n)表示逆變換結果。開始開始讀取原始數據f(n)傅里葉變換FFT,得到F(u)變換結果F(u)濾波F(u)數據寫入文件結束圖3離散傅里葉變換流程圖 圖3是傅里葉變換流程圖。原始數據是eggs.txt。對F(u)濾波時，舍棄高頻信息。計算結果寫入fft.txt文件中。開始開始讀取原始數據數據f(n),變換后F1(u)對F1(u)傅里葉逆變換IFFT，得到f1(n)計算f(n)和f1(n)的差異結束圖4離散傅里葉變換壓縮數據差異計算流程圖 圖4是傅里葉變化壓縮數據后的差異計算。傅里葉逆變換時，對于高頻分量補零，與低頻分量來恢復數據f1(n)。3實驗結果分析（1）傅里葉變換圖5測試數據集的FFT變換及IFFT變換結果 在上圖中，得到測試數據集的傅里葉變換結果。圖中帶括號的是數據變換的復數結果，后邊的小數是變換后的幅值?？梢钥闯觯诟道锶~變換的結果中，有1/2的數據經過變換之后變為0值。這部分為0值的數據可以采用壓縮方式存儲，從而壓縮原始數據。并且，經過傅里葉反變換后，原始數據可以得到良好的恢復。圖6eggs.txt數據傅里葉變換結果 使用eggs.txt中的數據時，由于數據量較大，此處只是部分數據截圖。數據不足的部分用零補齊?？梢钥闯觯儞Q后的數據幅值較大，且基本沒有為0數據。此時，采用閾值進行濾波處理，取閾值，即將閾值小于30的值置為0。（2）小波變換圖7測試數據集的小波變換DWT 由上圖的實驗結果可以看出，數據經過小波變換后，其能量集中于數據的靠前的小波系數。對于相同的數據集，可以采用不同級別的小波變換數據。圖8eggs.txt數據小波變換結果 由上圖，對于實驗數據，經過小波變換后，大部分的數據都為0。正式小波變換的這一特點，使得小波變換可以用于數據的壓縮。4實驗結論 在文章的上兩節中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數據的方法。由實驗中，可以得到以下兩點：第一，傅里葉變換時數據的整體變換方法，數據經過傅里葉變化后，其能量主要集中在變換結果的靠前的數據部分，對于后邊的能量較小的部分，對于原始數據的差異描述，在存儲時可以忽略，從而進行數據壓縮。第二，小波變換的方法是既考慮數據整體性，又考慮數據的局部性。數據小波變換后，小波變換的前半部分系數表示數據的整體，后半部分表示數據的細節特征，對于一個連續的信號，其細節部分是微小的，可以忽略，從而使得小波變換的后半部分系數為0，從而實現了數據的壓縮。小波變換可以在不同的層級上進行。 對于一個連續的信號，采用傅里葉變換或是小波變換，數據可以得到較好的恢復，例如實驗中的測試樣本數據。對于給定的eggs.txt數據集，由于其波動較大，細節差異超過了原始信號，對其進行壓縮，恢復得到的數據跟原始數據的差異很大。5實驗心得體會（1）傅里葉變換和小波變換的原始數據 快速傅里葉變換和小波變換處理的數據都是個。對于不足N的數據，用零補齊后進行相應的變換，原始數據實際上改變。（2）數據恢復 數據壓縮后，為了得到數據，數據恢復是必須的。對于傅里葉變換，采用傅里葉反變換的方法，可以得到壓縮數據的回復數據；對于小波變換，則采用小波重構的方式。由于采用的壓縮方式是有損的，所以恢復得到數據并非原始數據。（3）小波變換可以得到數據的不同分辨率的表示，對于數據的濾波和壓縮也可以在不同的分辨率上進行。原始數據是最高分辨率。采用的分辨率越高，則對于數據的壓縮比越小。（4）對于非個數據的原始數據集（不采用補零方式），其傅里葉變換應如何計算？參考文獻[1]數據挖掘：概念與技術/（加）韓家煒，（加）坎伯（Kamber,M.）著；范明等譯.-北京：