課題：平面向量的運算知識點一、平面向量的線性運算1．向量的加法：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法．（1）向量加法的平行四邊形法則；（2）向量加法的三角形法則：將第二個向量的始點與第一個向量的終點相重合，則第一個向量的始點為始點，第二個向量的終點為終點所組成的向量，即為兩向量的和（3）對于共線的向量，分別為同向或反向的兩種情況．2．向量加法的性質：（1）向量加法的交換律：；（2）向量加法的結合律：；（3）．向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：；（2）結合律：減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則3．向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算（用加法的逆運算定義向量的減法）．若則叫做的差，記作．4．求作差向量：已知向量，求作向量．作法：在平面內取一點，作可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量．二、平面向量的數量積1．兩個向量的數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數量積（或內積）規定2．向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3．數量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積4．向量的模與平方的關系：5．乘法公式成立：；6．平面向量數量積的運算律：（1）交換律成立：（2）對實數的結合律成立：（3）分配律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7．兩個向量的數量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=8．向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9．兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O【注1】1．三點共線的性質定理：（1）若平面上三點A、B、C共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))．（2）若平面上三點A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1．2．共線向量定理應用時的注意點：（1）向量共線的充要條件中要注意“≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數個．（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．【注2】1．兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點．2．零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．．3．幾個重要結論（1）向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；（2）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．【注3】1．常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．2．找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．典型例題例1設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則等于（）例2設分別為的三邊的中點，則（）A．B．C．D．例3已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（

）A． B． C． D．例4已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．例5已知非零向量滿足，則與的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．例6已知平面向量與的夾角等于，如果，那么（）A．B．9C．D．10例7如圖，在△ABC中，是BN的中點，若，則實數m的值是（）A． B．1 C． D．例8如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取點M、N，使，，BN與CM交于點P，若，，則的值為（）A． B． C． D．6例9已知平面向量、滿足，，則在方向上的數量投影的最小值是______．例10已知向量，滿足，，，則_________．例11在中，，若D為BC中點，則為_________．例12已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．例13已知向量與的夾角為，記且，則_____．例14已知向量滿足且，則在方向上的數量投影為______．例15已知單位向量，滿足，若向量，則＝例16已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影為___________．例17設，是兩個不共線的向量，如果，，．（1）求證：A，B，D三點共線；（2）試確定的值，使和共線；（3）若與不共線，試求的取值范圍．舉一反三1．（）A．B．C．D．2．在中，已知是中點，設，則（）A．B．C．D．3．設分別為的三邊的中點，則（）A．B．C．D．4．在中，為邊上一點，，，則=（）A． B． C． D．5．如圖，正方形中，為的中點，若，則的值為（）A．B．C．D．6．在中，為邊上一點，，，則=（）A． B． C． D．7．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（）A． B．C． D．8．在矩形中，，則向量的長度等于（

）A．4 B． C．3 D．29．，，向量與向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．10．已知向量是與向量方向相同的單位向量，且，若在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．4 D．411．設向量滿足，，則（）A．1B．2C．3D．512．已知兩向量與滿足，且，則與的夾角為．課后練習1．在中，點是上的點，,,則（）A．B．C．D．A．B．C．D．23．設非零向量滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知向量是單位向量，且，則向量與的夾角是（

）A．? B．? C．? D．?5．已知向量是與向量方向相同的單位向量，且，若在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．4 D．46．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．8．已知為正三角形的中心，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．9．如圖，有5個全等的小正方形，，則的值是__________．10．平行四邊形中，為的中點，若，則__________．11．設為中邊上的中點，且為邊上靠近點的三等分點，則（）