2023年普通高等學校招生全國統一考試（新高考全國n

卷）

數學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。

1.在復平面內，（l+3i）（3-i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2),若A=B,則。=().

A.2B.1C-1D.-1

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調

查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400

名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（）.

A.C%CE種B.CZ-C鼠種

C.端/琮，種D.C篇C墨種

2x—1

4.若/（x）=（x+a）ln1^為偶函數，貝lja=（）.

A.-1B.0C.1D.1

5.已知橢圓C:；+y2=i的左、右焦點分別為6，F2,直線y=與C交于A,B

兩點，若△《AS面積是△F:AB面積的2倍，則機=（）.

A.|B.—C.--D.--

3333

6.已知函數〃x）=ae'-lnx在區間（1,2）上單調遞增，則a的最小值為（）.

A.e?B.eC.e-1D.e-2

7.已知a為銳角，cosa=L氈，則sin1=().

42

A3—>/5口—1+>/5c3—yf5DT+石

8844

記為等比數列｛｝的前〃項和，

8.5.q若54=-5,56=21S2>則$8=（）.

A.120B.85C.一85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=120°,1ft4=2,點

C在底面圓周上，且二面角P-AC—O為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為4百兀

C.AC=2夜D.4c的面積為6

10.設。為坐標原點，直線y=-G(x-l)過拋物線C：yJ2px(p>0)的焦點，且與c

交于M,N兩點，/為C的準線，則().

O

A.p=2B.\MN\=^

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

11.若函數〃x)=alnx+q+W(axO)既有極大值也有極小值，貝ij().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道內傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發送。時，收到1的概率為a(0<a<1),

收到。的概率為1-a；發送1時，收到。的概率為以0<尸<1),收到1的概率為1-爪

考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳

輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，

收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依

次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-6)2

B.采用三次傳輸方案，若發送1,則依次收到1,0,1的概率為6(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發送1,則譯碼為1的概率為￡(1-￡)2+(1-夕)'

D.當0<a<0.5時，若發送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳

輸方案譯碼為0的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,滿足,叫=6,卜+w=|2.-司，則忖=.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

15.已知直線/“一根)，+1=0與OC:(x-iy+y2=4交于4,8兩點，寫出滿足“..ABC面

Q

積為相’的根的一個值.

試卷第2頁，共4頁

16.已知函數/(x)=sin(3：+e),如圖A,8是直線y與曲線y=/(x)的兩個交點,

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟。

17.記一43c的內角A,8,C的對邊分別為a,4c,已知43c的面積為g,。為8c中

點，且AD=1.

(1)^ZADC=y,求tan8；

⑵若Z/+C2=8,求瓦c.

18.已知｛叫為等差數列，2=[?-6二數，記S“，7；分別為數列｛%｝,但｝的前

〃項和，§4=32,4=16.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2)證明：當">5時,Tn>Sn.

19.某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值C,將該指標大于C的人判定為陽性，

小于或等于。的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記

為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設數據在組內均勻分布，

以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

⑴當漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

⑵設函數〃c)=p(c)+q(c),當CG[95,105]時,求〃c)的解析式，并求/.(c)在區間

[95,105]的最小值.

20.如圖，三棱錐4-88中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,E

為BC的中點.

(1)證明：BCA.DA,

(2)點/滿足￡F=￡)A，求二面角。一AS-尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜26,0),離心率為不.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為A,4,過點(Y,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,

M在第二象限，直線MA與M4?交于點尸.證明:點P在定直線上.

22.(1)證明：當Ovxvl時，x-x2<s\nx<x；

(2)已知函數/(x)=cosor-若x=0是〃x)的極大值點，求a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.

［詳解］因為(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,

則所求復數對應的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據包含關系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為A=B,則有：

若〃一2=0,解得a=2,此時A={0,—2},B={l,0,2},不符合題意；

若2“一2=0,解得a=l,此時A={0,—l},B={1-1,0},符合題意；

綜上所述：a=\.

故選：B.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60x攔=40人,高中部共抽取60x嬰=20,

600600

根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有C<?C禽種.

故選：D.

4.B

【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為f(x)為偶函數，則/(I)=/(-I)，(1+a)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

當a=O時，=(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-g,

則其定義域為卜|x〉g或無關于原點對稱.

f(-x)=(-x)In~-=(-x)ln~A+1=(-x)In［=xln-x~^=

八'、'2(-x)+l、72x-\、'Ux+lJ2x+\V7

故此時〃x)為偶函數.

故選：B.

答案第1頁，共16頁

5.C

【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用△>(),求出，”范圍，再根據三角形面積比得

到關于機的方程，解出即可.

y=x+m

x2，消去y可得4/+6如+3病-3=0,

了+八21

因為直線與橢圓相交于點，則公1=4X4(3〃P—)解得一

A,836m2—3>0,2Vm<2,

設F,到AB的距離4再到AB距離4，易知耳卜3,0),巴(60),

皿|-0+機|,\y/2+m\

I-及+川

占=西=黑*2,解得…當或一30(舍去),

【分析】根據/(切=獲,--20在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=ae*-l20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

xa

設g(x)=xe\xw(l,2),所以g，(x)=(x+l)e'>0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增,

g(x)>g(l)=e,故e2,，即即〃的最小值為e，

ae

故選：c.

7.D

【分析】根據二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l-2sin24=L芭，而a為銳角,

24

答案第2頁，共16頁

解得：sin掾=(3一下75-175-1.

故選：D.

8.C

【分析】方法一：根據等比數列的前〃項和公式求出公比，再根據名，怎的關系即可解出；

方法二：根據等比數列的前〃項和的性質求解.

【詳解】方法一：設等比數列｛為｝的公比為。，首項為4，

若q=l,則S6=6q=3x2q=3S2,與題意不符，所以

由S,=-5,S$=21邑可得,也二￡)=_5,"'("'『"'(?八①,

\-ql-q\-q

由①可得，1+/+/=21,解得：q2=4,

所以$8=)=)X(1+/)=_5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設等比數列｛〃“｝的公比為4，

因為邑=-5,S6=21S2,所以夕w—1,否則S1,=0,

從而，s2,s4-s2,s6-s4,s8-s6成等比數列，

o25

所以有，(-5-S2)=52(2152+5),解得：邑=-1或員=1,

當$2=-1時，S,,S4—52,S6—S4,S8—S6,即為-1,-4,—16,Sg+21,

易知，$8+21=-64,即S,=-85；

當s?=_時，S4=q+4+.+。4=(4+/乂i+/)=(i+q2)s2>o,

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數列的前〃項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是

把握s431s的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

答案第3頁，共16頁

9.AC

【分析】根據圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=\20°,PA=2,所以OP=1,OA=O3=VL

A選項，圓錐的體積為3、兀*(右)\1=兀，A選項正確；

B選項，圓錐的側面積為兀xgx2=2g7t,B選項錯誤；

C選項，設。是AC的中點，連接02?。，

則AC1OD,ACLPD,所以NPDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NP￡)O=45。，所以OP=OD=1,

故AD=CD=^^i=&,則AC=2應，C選項正確；

D選項，PD=712+12=72>所以SpAc=gx2\/5x夜=2,D選項錯誤.

10.AC

【分析】先求得焦點坐標，從而求得。，根據弦長公式求得,根據圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x-l)過點(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點尸(1,0),

所以5=l,P=2,2p=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為>2=4x.

B選項：設,

由卜,=-8(x-l)消去>并化簡得#_]0x+3=(x-3)(3x-1)=0,

y=4x

解得玉=3,X2=g,所以|MN|=%+%+p=3+g+2=T，B選項專昔誤.

C選項：設MN的中點為A,到直線/的距離分別為44,d,

答案第4頁，共16頁

因為4=；(4+4)=；(|耐|+"/|)=；阿明，

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=-G(x-l),即Vlr+y-石=0,

。到直線6x+y-6=()的距離為d=3,

2

所以三角形OMN的面積為'嶼、且=勺2

2323

由上述分析可知y=-\/3(3-1)=-2^,y2=

所以|0叫=』+(-2國=d,|ON卜

所以三角形。MN不是等腰三角形，D選項錯誤.

【分析】求出函數/(*)的導數/(X),由已知可得，'(x)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉化為

一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數士+三的定義域為(0,位)，求導得

XX

。b2cax2-bx-2c

3--------------，

/W=-x----x-r-x-r=--------x-

因為函數/*)既有極大值也有極小值，則函數/'。)在(0,”)上有兩個變號零點，而。工0,

因此方程如2-法-2c=0有兩個不等的正根不

答案第5頁，共16頁

A=/?2+Sac>0

于是，王+》2=2>0,即有。2+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a%?<0,即從?<(),A錯

a

2c.

X[X>=--->0

.'a

誤，BCD正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率

計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發送1接收1、發送0

接收0、發送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-尸)(l-a)(l-6)=(l-a)(l-￡)2,A正確:

對于B,三次傳輸，發送1,相當于依次發送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-4)"(1-夕)="1-月)2,B正確；

對于C,三次傳輸，發送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C/(l-/)2+(l-夕)3=(1-4)2(]+2/),c錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發送0,則譯碼為0的概率P=(l-a)p+2a),

單次傳輸發送0,則譯碼為0的概率戶=1-a,而0<a<0.5,

SlitP-=(1-a)2(l+2a)-(1-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.

13.6

【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令'=5-力，結合

數量積的運算律運算求解.

答案第6頁，共16頁

【詳解】法一：因為k+司=|2“一同，即（“+4=（2〃—可，

則a+2a-b+b=4a~-4a-b+b,整理得，-2a-b=0>

又因為即（a-b『=3,

貝嘮-2療+入入3,所以忖=5

I].rirrrrrrrr

法二：設c=5_〃，則卜|=，3,0+6=0+2/?,2〃一匕=2C+》，

由題意可得：/+叫=（2c+6）,則</+4c0+4/f=4（/+4c?/?+//，

整理得：；2』2,即帆=口=b.

故答案為：6.

14.28

【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據臺體的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于（=]，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為；x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+&Q）=28.

故答案為：28.

【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長恒同，以及點C到直線A8的距離，結合面積

公式即可解出.

答案第7頁，共16頁

【詳解】設點C到直線AB的距離為d,由弦長公式得|A8|=244-屋，

所以S&Bc=；xdx2V^7'=g,解得：d=處或d=巫,

2355

由d=J整所以-攣或-^上方;半，解得：加=±2或"=土;.

Vl+w2V1+/M2y/l+m25V1W52

故答案為：2（2,-《,一中任意一個皆可以）.

16.

~2

【分析】設4（和￡],8（々，），依題可得，x2-x,=p結合sinx=g的解可得,

。（工2-%）=與，從而得到。的值，再根據/（1兀）=°以及/（。）＜0,即可得

f（x）=sin（4x-|7t）,進而求得/⑺.

【詳解】設4、,￡）,8卜，￡|，由|4用=2可得々一%=看，

I兀57r

由sinx=不可知，x=：+24兀或x=：+2E,kwZ,由圖可知，

266

6yx2+0—(0X|+9)=7兀-7=^-，即/(馬/.6<9=4.

日位/＞[2I.（8兀]8兀.Q

因為鏟尸叫了+叼=0,所以5+e=E,即3=一不+kitkwZ.

所以/(x)=sin4x——兀+E=sin4x——兀+左兀

所以f(x)=sin(4x—17i)或f(x)=—sin(4x-g兀

又因為/（0）＜0,所以"x）=sin（4x-[兀｝??./（兀）=sin（4兀一|兀）=—#.

故答案為：罟.

【點睛】本題主要考查根據圖象求出。以及函數/（x）的表達式，從而解出，熟練掌握三角

函數的有關性質，以及特殊角的三角函數值是解題關鍵.

17.(1

(2)Z>=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

答案第8頁，共16頁

用三角形面積公式求出“，作出8c邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出-ADC即可求解作答；方

法2,利用向量運算律建立關系求出a,再利用三角形面積公式求出NADC即可求解作答.

TT

【詳解】(1)方法1：在：ABC中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=1,

Y=Ta=is-=T,解得I，

27r

在中，ZADB=y,由余弦定理得C?=8￡)2+4)2-23￡>.4)COSNADB,

即c2=4+l-2x2xlx=7,解得c=>/7,則cos8=^^=膽,

2V7x214

sinB=Vl-cos2B-

所以tanB=^=正.

cosB5

方法2：在ABC中，因為。為BC中點，ZADC=^,AD=\,

貝USA”。=,A￡>-OCsinNAOC='xl*1ax^=^a=1s.?r=—,解得a=4,

m2222822

在,AC。中，由余弦定理得從=CZ)2+452_2CZ)A￡>COSZAZ)8,

即/=4+1_2x2xlxg=3,解得b=百,有.AC2+AQ2=4=C￡>2,則NCAO=5,

C=j過A作A￡JL8c于E,于是CE=ACcosC=3,4E=4CsinC=^,BE=￡

6222

所以tanB噎邛

11

c"9-~a9+l-2x—6fxlxcos(7t-ZADC)

(2)方法1：在△ABO與A8中，由余弦定理得，

h2=—a2+l-2x—6/xlxcosZADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而從+C?2=8,則〃=26,

又SADC=；x石x1xsinZ.ADC=*，解得sinZADC=I,而0<ZADC<”，于是ZADC=],

所以/?=c=jA￡>2+a)2=2.

答案第9頁，共16頁

方法2：在，ABC中，因為。為BC中點，則2AO=AB+AC，又CB=AB—AC，

4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(fe2+c2)=16,即4+/=i6，解得a=2百，

又SAnc=-x73x1xsinZAZJC=—,解得sin/4DC=l,Ifij0<ZADC<n,于是NADC=：,

ADC222

所以。=c=Jm+CD?=2.

18.⑴a“=2”+3；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設等差數列｛%｝的公差為d,用4，4表示S“及7”，即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的結論求出S“，b?,再分奇偶結合分組求和法求出(，并與S“作

差比較作答；方法2,利用(1)的結論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數列前〃項和公式

求出工,，并與S“作差比較作答.

,、—6,〃=2%-1.

【詳解】(1)設等差數列｛%｝的公差為d,而2=；，驍N*,

,KI—Z.K

則h1=a]-6,Z?2=2a?=2q+2d,4=%—6=4+2d—6,

⑸=4tz,+6d=32

于是,,,,解得％=5,d=2,a?=a+(n-l)d=2n+3,

r,=4?(+44-112O=16t

所以數列｛??｝的通項公式是4,=2〃+3.

⑵方法1：由⑴知，s.一(5+；〃+3)=”2+4〃,2=廣一：’”；丁,此用，

2[4〃+6,〃=2k

當〃為偶數時，〃i+d=25—1)-3+4〃+6=6〃+1,

于13+(6〃+1)/?37

T,=------------=-/?"2+—n,

“2222

當”>5時，7；,-5?=(|n2+1-7J)-(/i2+4/j)=^n(n-l)>0,因此Z,>S“，

327325

當〃為奇數時，Tn=T?+1-b?+l^(n+1)+-(n+1)-[4(n+1)+6J=1n+^n-5,

當"〉5時，Tn-Sn=(^n'+^n—5)—(n'+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此>S“，

答案第10頁，共16頁

所以當〃>5時，T”>S,,

2n-?>,n-2k-\,*

方法2：由(1)知，S"="(5+}+3)=、+4〃b“=入N*,

4〃+6,〃=2%

當〃為偶數時,

Ta入,.—1+2(〃-1)—3n14+4/1+6〃327

Z,=(4+4++4_|)x+(包+d++2)=--------------+—------=

3.71

當〃>5時，7,-S“=(5〃2+]〃)_(〃2+4〃)=2〃(〃-1)>O,因此7；>S“，

當〃為奇數時，若〃之3,則

-1+2〃―3〃+114+45-1)+6n-\

(=(〃+&++2)+也+%++%)=---------------F

22~2F

=j3n2+|5?-5,顯然/；=偽=-1滿足上式，因此當〃為奇數時，7；,=|3?2+|5/7-5,

35i

22

當〃〉5時，Tn-S?=(-n+-n-5)-(?+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此7；>S“,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

19.(l)c=97.5,4(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100?,_,

⑵/?=0.01c-0.98,100<c<105'最小值為。。2.

【分析】(1)根據題意由第一個圖可先求出。，再根據第二個圖求出CN97.5的矩形面積即

可解出；

(2)根據題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據分段函數的最值求法即可

解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5—95)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當ce[95,100]時,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當ce(100,105]時,

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0.02,

答案第11頁，共16頁

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=

0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區間［95,105］的最小值為0.02.

20.(1)證明見解析:

(2)T

【分析】(1)根據題意易證工平面ADE,從而證得BC_LZM；

(2)由題可證平面58,所以以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標系，再求出平面AB3A8F的一個法向量，根據二面角的向量公式以及同

角三角函數關系即可解出.

【詳解】(D連接AE,OE,因為E為8c中點，DB=DC,所以。ELBC①，

因為D4=D9=3C,ZADB=ZADC=60,所以ACD與△ABO均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_L5C②，由①②，AEDE=E,AE,OEu平面,

所以，BC_Z平面A0E,而ADu平面A￡)E,所以BC_LD4.

(2)不妨設DA=DB=DC=2,BDVCD,:.BC=2?,DE=AE=C.

：.AE2+DE2=4=AD2>:.AEVDE,又AEA.BC,DEBC=E,OE,8Cu平面BCD

.?.AE_L平面SCO.

以點E為原點，E2EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設0(72,0,0),4(0,0,夜),3(0,衣0),E(0,0,0),

設平面ZMB與平面A8廣的一個法向量分別為勺=(jq,yl,zl),n2=(x2,y2,z2),

二面角O-AB-B平面角為氏而A8=(O,a,-0),

因為E/=。4=(-0,0,0),所以4即有4尸=(-0,0,0),

答案第12頁，共16頁

J-V2X1+y/2z}=0

取％=1,所以4=(1,1,1)；

[\[2yi-y12z1=0

\f2y2-V2Z2=0

取丫2=1，所以%=(0,1,1),

-yjlx2=0

所以‘上°網=向聲耳豆=乎’從而sine=614?

所以二面角。-鉆-尸的正弦值為坦.

3

(2)證明見解析.

【分析】(1)由題意求得”,〃的值即可確定雙曲線方程:

(2)設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與N4的方程,

聯立直線方程，消去丁，結合韋達定理計算可得x+三2=-：1,即交點的橫坐標為定值，據此

x-23

可證得點尸在定直線4T上.

22

【詳解】(1)設雙曲線方程為［-與=1(。＞0*＞0),由焦點坐標可知c=2后，

ab?

則由0=2=逐可得。=2,b=\Jc2-a2=4?

a

雙曲線方程為M=l.

416

(2)由(1)可得4(-2,0)，4(2,0),設(孫方)，

顯然直線的斜率不為0,所以設直線MV的方程為尤=根＞」4,且

22

與?一福=1聯立可得(4m2-1)/-32%),+48=0,且△=64(4m2+3)>0,

32/7748

貝|」乂+%=4/n2—1'")24m2-1，

答案第13頁，共16頁

直線"A的方程為y=T?(x+2),直線叫的方程為y=(X-2),

Xj-rZX-,—L

聯立直線"4與直線N4的方程可得：

x+2=%(占+2)=%(沖?-2)=陽心-2(%+%)+2乂

x-2》(占-2)y("%-6)加X內一6%

48。32m八-16m3

m-----7------2?4/?」2)1嬴=1+2,

4"-1

4848〃？工3

mx——-——-6y)

4〃r-1

由x=+=2一：i可得x=-l,即與=-1,

x-23

據此可得點P在定直線4-1上運動.

【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和

綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算,

是解題的關鍵.

22.(1)證明見詳解(2)(-00,-72)(V2,+oo)

【分析】(1)分別構建尸(x)=x-sinx,xe(O,l),G(x)=x2-x+sinx,xe(O,l),求導,利用

導數判斷原函數的單