12.1全等三角形（重難點）【知識點一、全等圖形】全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關．【知識點二、全等三角形】全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角．全等三角形的表示：全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”．如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF．記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上．【知識點三、全等三角形的性質】全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．全等三角形對應邊上的高、中線分別相等，對應角的平分線相等，面積相等，周長相等．考點1：利用全等三角形性質求角例1．已知圖中的兩個三角形全等，則∠αA．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】根據全等三角形對應角相等可知∠α是a、c邊的夾角，可得對應角，則∠α=50°，從而可得答案．【詳解】解：∵如圖，兩個三角形全等，∠α與50°的角是a、c邊的夾角，∴∠α的度數是50°．故選：D．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握“全等三角形的對應角相等”是解本題的關鍵．【變式訓練1-1】．如圖，△ABC≌△DBE，∠ABD=23°，∠DBE=45°，則∠DBC的度數是（

）A．22° B．23° C．30° D．33°【答案】A【分析】根據全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABD=23°，∠DBE=45°，∴∠ABC=∠DBE=45°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=22°，故選A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟知全等三角形對應角相等是解題的關鍵．【變式訓練1-2】．如圖，若△ABC≌△DEF，∠A=45°,∠F=35°，則∠B等于（）A．35° B．45° C．60° D．100°【答案】D【分析】利用全等三角形的對應角相等，以及三角形的內角和定理，即可得解．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=45°,∠F=35°，∴∠C=∠F=35°∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-35°=100°．故選D．【點睛】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找準對應角，利用數形結合的思想解答．【變式訓練1-3】．如圖，△OCA≌△OBD，∠A=30°，∠AOC=80°，則∠B的度數為（

）A．30° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】在△AOC中由三角形內角和180°可求出∠C，由全等三角形對應角相等可得∠C=∠B即可求解．【詳解】解∶在△AOC中，∠A+∠AOC+∠C=180°，∴∠C=180°-80°-30°=70°又∵△OCA≌△OBD，∴∠C=∠B=70°，故選B．【點睛】本題考查三角形內角和與全等三角形的性質，熟記相應的概念是解題的關鍵．考點2：利用全等三角形性質求邊例2．如圖，已知△ABC≌△DEF，若DF=6，AB=3，EF=5，DC=4，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據全等三角形的性質求出AC，進而可得AD的長．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF=6，∴AD=AC-DC=6-4=2，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵．【變式訓練2-1】如圖，△ABD≌△ACE，若AE=3，AB=6，則CD的長度為（

）A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【分析】根據全等三角形的性質，可以得到AC和AD的長，然后根據CD=AC-AD，代入數據計算即可．【詳解】解：∵△ABD≌△ACE，AE=3，AB=6，∴AD=AE=3，∴CD=AC-AD=6-3=3，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【變式訓練2-2】如圖，△ABC≌△DEF，△ABC的周長為25cm，AB=8cm，AC=9cm，則A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】B【分析】根據全等三角形的對應邊相等解答．【詳解】解：∵△ABC的周長為25cm，AB=8cm，AC=9cm，∴BC=25-8-9=8cm∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=8cm故選：B．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．【變式訓練2-3】如圖，△ABD≌△ACE，點B和點C是對應頂點，AB=6，CD=2，則AD的長是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵△ABD≌△ACE，AB=6，∴AB=AC=6，∵AC=AD+CD，CD=2，∴AD=4，故選：B．【點睛】此題考查了全等三角形的性質，熟記“全等三角形的對應邊相等”是解題的關鍵．考點3：識別全等形例3．下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據全等圖形的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．不是全等圖形，故本選項不符合題意；B．不是全等圖形，故本選項不符合題意；C．不是全等圖形，故本選項不符合題意；D．是全等圖形，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了全等圖形的概念，解題的關鍵是掌握形狀和大小都相同的兩個圖形是全等圖形．【變式訓練3-1】下列四個選項中，不是全等圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據全等圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、兩個圖形是全等圖形，不符合題意；B、兩個是全等圖形，不符合題意；C、兩個圖形大小不同，不是全等圖形，符合題意；D、兩個圖形是全等圖形，不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查全等圖形問題，關鍵根據全等圖形的定義判斷．【變式訓練3-2】下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據全等圖形的定義，逐一判斷即可．【詳解】A．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D．兩個圖形能完全重合，是全等圖形，符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個圖形，是全等圖形”是解題的關鍵．【變式訓練3-3】下列個圖形中，是全等圖形的是（

）A．a，b，c，d B．a與b C．b，c，d D．a與c【答案】D【分析】根據全等圖形的概念求解即可．【詳解】解：由圖可知，a與c是全等圖形，故選：D．【點睛】本題考查了全等圖形的識別，熟知能夠完全重合的圖形叫全等圖形是解題的關鍵．考點4：識別全等三角形例4．如圖，AB＝AD，BC＝DC，則圖中全等三角形共有（

）．A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】B【分析】可直接判定△ABC≌△ADC，則有∠DAE=∠BAE，∠DCE=∠BCE，可判定△ABE≌△ADE，△BCE≌△DCE，可得到答案．【詳解】解：在△ABC和△ADC中，AB=AD∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAE=∠DAE，∠BCE=∠DCE，在△ABE和△ADE中，AB=AD∴△ABE≌△ADE（SAS），同理可得：△BCE≌△DCE，所以全等三角形有三對，故選擇：B.【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的對應角、對應邊相等是解題的關鍵．【變式訓練4-1】如圖，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點F，則圖中全等的直角三角形共有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】C【詳解】解：有7對全等三角形：①△BDC≌△CEB②△BEO≌△CDO③△AEO≌△ADO④△ABF≌△ACF⑤△BOF≌△COF⑥△AOB≌△AOC⑦△ABD≌△ACE故選C．【變式訓練4-2】如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊后，點D落在點E處，與BC交于點F，圖中共有全等三角形（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】C【分析】根據全等三角形的判定定理可得結果.【詳解】△ACD≌△ACE，△ACD≌△CAB，△ACE≌△CAB，△ABF≌△CEF，故選C.【點睛】本題考查全等三角形的判定，注意折疊前后圖形全等，全等具有傳遞性.【變式訓練4-3】如圖，已知ΔABC中，AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC于D，且E、A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】運用等腰三角形的性質證明BD=CD，DE=DF，證明△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD即可解決問題.【詳解】∵AB=AC,AE=AF,AD⊥BC∴BD=CD，DE=DF在△ABD和△ACD中AD=AD∠ADB=∠ADC∴△ABD≌△ACD（SAS）同理可證△AED≌△AFD故圖中共有2對全等的直角三角形故選B【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，還涉及了等腰三角形的性質，熟練掌握各個性質定理是解題關鍵.考點5：全等三角形的概念例5．下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個三角形全等B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等D．所有的等腰三角形都全等【答案】C【分析】利用三角形全等的定義及性質解題即可．【詳解】解：A．形狀相同，邊長不對應相等的兩個三角形不全等，故本選項錯誤；B．面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤；C．完全重合的兩個三角形全等，正確；D．兩個腰不相等的等腰三角形不全等，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查三角形全等的性質及定義，熟知三角形全等的定義是解題關鍵．【變式訓練5-1】下列說法正確的是（

）A．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 B．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形C．兩個周長相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的周長、面積分別相等【答案】D【分析】根據全等三角形的定義：形狀大小相同，能夠完全重合的兩個三角形，以及全等三角形的性質逐一判定即可．【詳解】解：A、面積相等的兩個三角形不一定全等，選項說法錯誤，不符合題意；B、全等三角形是指形狀大小相同，能夠完全重合的兩個三角形，選項說法錯誤，不符合題意；C、兩個周長相等的三角形不一定全等，選項說法錯誤，不符合題意；D、全等三角形的周長、面積分別相等，選項說法正確，符合題意；故選D．【點睛】本題考查全等三角形的定義和性質．熟練掌握全等三角形的定義和性質，是解題的關鍵．【變式訓練5-2】下列說法正確的是（

）A．周長相等的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【分析】根據全等三角形的定義，此題應采用排除法，對選項逐個進行分析從而確定正確答案．【詳解】解：A．全等三角形的周長相等，但周長相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤；B．全等三角形的面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤；C．正確，符合全等三角形的定義；D．邊長不相等的等邊三角形不全等，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的定義，掌握全等三角形的定義是解答本題的關鍵．【變式訓練5-3】下列說法正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個等邊三角形是全等形C．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等形 D．兩個全等圖形的面積一定相等【答案】D【分析】依據全等圖形的定義和性質進行判斷即可．【詳解】全等的兩個圖形的面積、周長均相等，但是周長、面積相等的兩個圖形不一定全等，則A、C選項錯誤；邊長相等的所有等邊三角形是全等，所以B選項錯誤；故選：D．【點睛】考查的是全等圖形的性質，掌握全等圖形的性質是解題的關鍵考點6：網格中的全等形例6．如圖，網格中有△ABC和點D，請你找出另外兩點E、F，在圖中畫出△DEF，使△ABC≌△DEF，且頂點A、B、C分別與D、E、F對應．【答案】見解析【分析】三邊對應相等的兩個三角形互為全等三角形，據此可畫出圖．【詳解】如圖所示：從圖中可得到兩個三角形的三條邊對應相等．【點睛】考查全等三角形的性質，三邊對應相等，以及在表格中如何畫出全等的三角形．【變式訓練6-1】如圖所示的網格中有△ABC．（1）試在DE一側找出格點C，使得以D，E，C為頂點的三角形與△ABC全等；（2）計算△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）3.5．【詳解】試題解析：試題分析：1直接利用網格，結合全等三角形的判定方法得出符合題意得方程.2用△ABC所在矩形的面積減去三個直角三角形的面積即可.試題解析：（1）如圖所示，格點C1（2）△ABC的面積=3×4-1【變式訓練6-2】如圖，用三種不同的方法沿網格線把正方形分割成4個全等的圖形（三種方法得到的圖形相互間不全等）．【答案】詳見解析【分析】觀察圖形發現：這個正方形網格的總面積為16，因此只要將面積分為4，即占4個方格，并且圖形要保證為相同即可．【詳解】解：如圖所示：【點睛】本題主要考查了全等圖形和作圖，準確分析是解題的關鍵．【變式訓練6-3】如圖，在每個小正方形的邊長均相等的網格中，△ABC的頂點均在格點（網格線的交點）上．（1）線段CD將△ABC分成面積相等的兩個三角形，且點D在邊AB上，畫出線段CD．（2）△CBE≌