2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期九年級階段驗收數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1．如圖是由6個完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．2．關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣43．某種氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)的氣體的氣壓P（kPa）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全，氣球的體積應(yīng)該（）A．不大于m3 B．小于m3 C．不小于m3 D．小于m34．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成了一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任意取一個白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一個軸對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．5．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，若點B′恰好落在BC邊上，AB′＝CB′，則∠C′的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．22° D．24°7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC與△DEF位似，原點O是位似中心，則E點的坐標(biāo)是（）A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）8．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．39．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經(jīng)過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．510．將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2二．填空題（每小題3分，共15分）11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，則tan∠ACB的值為．12．某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長為m（結(jié)果保留根號）．13．如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是．14．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．15．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，點E為線段AD上一點，且DE＝2AE，點G是線段AB上的動點，EF⊥EG交BC所在直線于點F，連接GF．則GF的最小值是（）A．3 B．6 C．6 D．3三．解答題16．（8分）如圖，要利用一面墻（墻長為55m），用100m的圍欄建羊圈，基本結(jié)構(gòu)為三個大小相同的矩形．（1）如果圍成的總面積為400m2，求羊圈的邊長AB，BC各為多少？（2）保持羊圈的基本結(jié)構(gòu)，羊圈總面積是否可以達(dá)到800m2？請說明理由．17．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與函數(shù)為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標(biāo)．18．（7分）為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強愛國主義情感，某校組織七年級學(xué)生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：A．劉英烈士陵園；B．中國工農(nóng)紅軍第十三軍第三團(tuán)紀(jì)念館；C．中共永康縣委誕生地紀(jì)念館，且每人只能選擇一條線路．小張和小王兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小張先從中隨機抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小王再從中隨機抽取一張卡片．（1）小張從中隨機抽到卡片A的概率是．（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片C的概率．19．（8分）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高AB．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點D處時，他在該景觀燈照射下的影子長為DF，測得DF＝2.4m；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時，測得點A的仰角α為26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距離EF＝1.6m，點F、D、B在同一條直線上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求該景觀燈的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過點B作BC的垂線，交⊙O于點D，并與CA的延長線交于點E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點F．（1）求證：BD＝BC；（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長．21．某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當(dāng)銷售單價定為20元時，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售．市場調(diào)查反映：銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設(shè)這款“免洗洗手液”的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（瓶）．（1）求每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為多少元？22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC．（1）如圖①，當(dāng)α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是；（2）如圖②，當(dāng)0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；（3）當(dāng)0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．23．（12分）[基礎(chǔ)鞏固]（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A，若BF＝5，BE＝3，求AD的長；[拓展提高]（3）在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝6，求菱形ABCD的邊長．?dāng)?shù)學(xué)參考答案一．選擇題1．如圖是由6個完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．解：從上面看，底層右邊是一個小正方形，上層是三個小正方形，故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．2．關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4【分析】根據(jù)根的判別式和已知條件得出Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，再求出m的范圍即可．解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數(shù)根，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，解得：m≥﹣4，故選：D．【點評】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)解；當(dāng)b'2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)解；當(dāng)b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)解．3．某種氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)的氣體的氣壓P（kPa）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全，氣球的體積應(yīng)該（）A．不大于m3 B．小于m3 C．不小于m3 D．小于m3【分析】根據(jù)題意可知溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，且過點（1.6，60）故P?V＝96；故當(dāng)P≤120，可判斷V≥．解：設(shè)球內(nèi)氣體的氣壓P（kPa）和氣體體積V（m3）的關(guān)系式為P＝，∵圖象過點（1.6，60），∴k＝96，即P＝，在第一象限內(nèi)，P隨V的增大而減小，∴當(dāng)P≤120時，V＝≥．故選：C．【點評】本題考查了反比例好函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖象上的已知點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．4．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成了一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任意取一個白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一個軸對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．【分析】由在4×4正方形網(wǎng)格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的結(jié)果，使圖中黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形的有5種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵由題意，共16﹣3＝13種等可能情況，其中構(gòu)成軸對稱圖形的有如圖5個標(biāo)有數(shù)字的位置，所示的5種情況，∴概率為P＝．故選：B．【點評】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案以及幾何概率，先得出所有等可能的結(jié)果數(shù)n，再找出某事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)m，然后根據(jù)概率的定義計算出這個事件的概率＝．5．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】先根據(jù)外角性質(zhì)得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是⊙O的直徑得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故選：D．【點評】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握各知識點是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，若點B′恰好落在BC邊上，AB′＝CB′，則∠C′的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．22° D．24°【分析】根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得AB＝AB′，已知AB′＝CB′，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，得∠B、∠C的關(guān)系為解決問題的關(guān)鍵．解：∵AB′＝CB′，∴∠C＝CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴C＝24°，∴∠C′＝∠C＝24°，故選：D．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC與△DEF位似，原點O是位似中心，則E點的坐標(biāo)是（）A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，求出，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC與△DEF位似，∴AB∥DE，∴＝＝，∴△ABC與△DEF的位似比為1：3，∵點B的坐標(biāo)為（2，1），∴E點的坐標(biāo)為（2×3，1×3），即E點的坐標(biāo)為（6，3），故選：D．【點評】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△ABC與△DEF的位似比是解題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【分析】如圖，點B在函數(shù)y＝上，證明△AOC≌△OBD，根據(jù)k的幾何意義即可求解．解：連接正方形的對角線，由正方形的性質(zhì)知對角線交于原點O，過點A，B分別作x軸的垂線．垂足分別為C、D，點B在函數(shù)y＝上，如圖：∵四邊形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵點A在第二象限，∴n＝﹣3，故選：A．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的k的幾何意義，熟練掌握以上性質(zhì)的解題關(guān)鍵．9．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經(jīng)過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用圖象的信息與已知條件求得a，b的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)對每個結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．解：∵拋物線的開口方向向下，∴a＜0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的結(jié)論正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的結(jié)論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴點（﹣2，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的對稱點為（0，y1），∵a＜0，∴當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。撸?＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的結(jié)論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線經(jīng)過點（﹣3，0），∴拋物線一定經(jīng)過點（1，0），∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標(biāo)為﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1，∴④的結(jié)論正確；∵直線y＝kx+c經(jīng)過點（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴當(dāng)x＝﹣時，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的結(jié)論不正確．綜上，結(jié)論正確的有：①④，故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，利用圖象的信息與已知條件求得a，b的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．10．將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣4），再把點（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標(biāo)為（4，﹣2），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣4），把點（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標(biāo)為（4，﹣2），所以平移后得到的拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣2．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．二．填空題11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，則tan∠ACB的值為．【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理分別求出AC、AB、BC的長，根據(jù)三角形的面積公式求出AD、CD，根據(jù)正切的定義解答即可．解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AC＝，AB＝3，BC＝4，△ABC的面積為：×AB×CE＝6，∴×CB×AD＝6，解得AD＝，CD＝＝，tan∠ACB＝＝．故答案為：．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長為（﹣1.6）m（結(jié)果保留根號）．【分析】如圖，在Rt△DEA中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AE＝DE＝5m；在Rt△BCF中利用30度的余弦可計算出CB＝m，則BF＝BC＝m，然后利用AB+AE＝EF+BF計算AB的長．解：延長BA交DF于點F，交DE于點E，如圖：在Rt△DEA中，∠ADE＝45°，∴AE＝DE＝5m，DA＝＝5（m）；在Rt△BCF中，∵cos∠BCF＝，∴CB＝＝（m），∴BF＝BC＝（m），∵AB+AE＝EF+BF，∴AB＝3.4+﹣5＝﹣1.6（m）．故答案為：（﹣1.6）．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC＝AB＝3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD＝CF＝EF，設(shè)CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，列方程即可得到結(jié)論．解：∵四邊形OABC是矩形，∴OC＝AB＝3，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝CF＝EF，∵BC＝2CD，∴設(shè)CD＝m，BC＝2m，∴B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∴3×2m＝（3+m）?m，解得m＝3或m＝0（不合題意舍去），∴B（3，6），∴k＝3×6＝18，∴這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝，故答案為：y＝．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．14．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴圖中陰影部分面積＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，故答案為：；【點評】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握扇形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．15．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，點E為線段AD上一點，且DE＝2AE，點G是線段AB上的動點，EF⊥EG交BC所在直線于點F，連接GF．則GF的最小值是（）A．3 B．6 C．6 D．3【分析】過點F作FM⊥AD于M，證△AEG∽△MEF，設(shè)AG＝x，利用相似的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示EM的長度，在Rt△GBF中，利用勾股定理用含x的代數(shù)式表示出GF2，利用函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值，再求出GF的最小值即可．解：如圖，過點F作FM⊥AD于M，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴＝，設(shè)AG＝x，∵AD＝9，DE＝2AE，∴AE＝3，∴＝，∴ME＝2x，∴BF＝AM＝3+2x，在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2＝（6﹣x）2+（3+2x）2＝5x2+45，∵點G在線段AB上，∴0≤x≤6，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝0時，GF2有最小值45，∴GF的最小值為3，【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等，解題關(guān)鍵是要善于運用函數(shù)思想求最值．三．解答題（共8小題）16．如圖，要利用一面墻（墻長為55m），用100m的圍欄建羊圈，基本結(jié)構(gòu)為三個大小相同的矩形．（1）如果圍成的總面積為400m2，求羊圈的邊長AB，BC各為多少？（2）保持羊圈的基本結(jié)構(gòu)，羊圈總面積是否可以達(dá)到800m2？請說明理由．【分析】（1）設(shè)AB＝xm，則BC＝100﹣4x，根據(jù)墻長可得x的范圍，由矩形面積公式列出關(guān)于x的方程，解之可得；（2）設(shè)羊圈的面積為ym2，由矩形面積公式得出函數(shù)解析式，繼而配方成頂點式后可得最值．解：（1）設(shè)AB＝xm，則BC＝（100﹣4x）m，∵100﹣4x≤55，∴x≥11.25，由題意知，x（100﹣4x）＝400，即x2﹣25x+100＝0，解得：x1＝20，x2＝5（舍），∴AB＝20m，BC＝100﹣4×20＝20m，答：羊圈的邊長AB長為20m，BC的長為20m；（2）設(shè)羊圈的面積為ym2，則y＝x（100﹣4x）＝﹣4x2+100x＝﹣4（x﹣）2+625，當(dāng)x＝時，y有最大值為625，所以羊圈總面積不可能達(dá)到800m2．【點評】本題主要考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程或函數(shù)解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與函數(shù)為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）將A點坐標(biāo)代入即可得出反比例函數(shù)y2＝（x＞0），求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，再將A、B兩點坐標(biāo)分別代入y1＝kx+b，可用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；（2）由題意即求y1＞y2的x的取值范圍，由函數(shù)的圖象即可得出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍；（3）由題意，設(shè)P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，則Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9﹣，根據(jù)三角形面積公式得到S△POQ＝（﹣2p+9﹣）?p＝3，解得即可．解：（1）∵反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，1），∴1＝．∴m＝4．∴反比例函數(shù)解析式為y2＝（x＞0）．把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．∴點B坐標(biāo)為（，8），∵一次函數(shù)解析式y(tǒng)1＝kx+b圖象經(jīng)過A（4，1），B（，8），∴．∴．故一次函數(shù)解析式為：y1＝﹣2x+9．（2）由y1﹣y2＞0，∴y1＞y2，即反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值．由圖象可得，＜x＜4．（3）由題意，設(shè)P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，∴Q（p，）．∴PQ＝﹣2p+9﹣．∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）?p＝3．解得p1＝，p2＝2．∴P（，4）或（2，5）．【點評】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．18．為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強愛國主義情感，某校組織七年級學(xué)生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：A．劉英烈士陵園；B．中國工農(nóng)紅軍第十三軍第三團(tuán)紀(jì)念館；C．中共永康縣委誕生地紀(jì)念館，且每人只能選擇一條線路．小張和小王兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小張先從中隨機抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小王再從中隨機抽取一張卡片．（1）小張從中隨機抽到卡片A的概率是．（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片C的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片C的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．解：（1）小張從中隨機抽到卡片A的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小張和小王兩人都抽到卡片C的結(jié)果有1種，∴兩人都抽到卡片C的概率是．【點評】此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高AB．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點D處時，他在該景觀燈照射下的影子長為DF，測得DF＝2.4m；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時，測得點A的仰角α為26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距離EF＝1.6m，點F、D、B在同一條直線上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求該景觀燈的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）【分析】過點E作EH⊥AB，垂足為H，根據(jù)題意可得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，然后設(shè)EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長，從而求出AB的長，再根據(jù)垂直定義可得∠CDF＝∠ABF＝90°，從而證明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得AB＝x，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．解：過點E作EH⊥AB，垂足為H，由題意得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，設(shè)EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，∴AH＝EH?tan26.6°≈0.5x（m），∴AB＝AH+BH＝（0.5x+1.6）m，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF＝∠ABF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴AB＝x，∴x＝0.5x+1.6，解得：x＝6.4，∴AB＝x＝4.8（m），∴該景觀燈的高AB約為4.8m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，平行投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過點B作BC的垂線，交⊙O于點D，并與CA的延長線交于點E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點F．（1）求證：BD＝BC；（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長．【分析】（1）如圖，連接DC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到CD為⊙O的直徑，求得CD＝2r＝6．根據(jù)勾股定理得到EC＝＝＝3，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接DC，則∠BDC＝∠BAC＝45°，∵BD⊥BC，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，∴∠BCD＝∠BDC．∴BD＝BC；（2）解：如圖，∵∠DBC＝90°，∴CD為⊙O的直徑，∴CD＝2r＝6．∴BC＝CD?sin＝3，∴EC＝＝＝3，∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，∴△BCM∽△ECB．∴，∴BM＝＝＝2，CM＝，連接CF，則∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，∴MF＝MC＝，∴BF＝BM+MF＝2+．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當(dāng)銷售單價定為20元時，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售．市場調(diào)查反映：銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設(shè)這款“免洗洗手液”的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（瓶）．（1）求每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為多少元？【分析】（1）銷售單價為x（元），銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），則為降低了多少個0.5元，再乘以20即為多售出的瓶數(shù)，然后加上80即可得出每天的銷售量y；（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，根據(jù)利潤等于每天的銷售量乘以每瓶的利潤，列出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．解：（1）由題意得：y＝80+20×，∴y＝﹣40x+880（16≤x≤22）；（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，則有：w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360，∵a＝﹣40＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，∴當(dāng)x＝19時，w有最大值，最大值為360元．答：當(dāng)銷售單價為19元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為360元．【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC．（1）如圖①，當(dāng)α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是45°；（2）如圖②，當(dāng)0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；（3）當(dāng)0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAD＝20°，AB＝AD，求出∠DAE＝∠DAC＝35°，由三角形外角的性質(zhì)可求出答案；（2）延長DB到F，使BF＝CE，連接AF，證明△ADE≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，證明△ABF≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）分兩種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）解：∵線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α至AD，α＝20°，∴∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝35°，∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，故答案為：45°；（2）證明：延長DB到F，使BF＝CE，連接AF，∵AB＝AC，AD＝AB，∴AD＝AC，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADE+∠ADB＝180°，∴∠ACE+∠ABD＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∵∠DEA＝∠