PAGE41、因子分析法(FactorAnalysis)一、方法介紹基本思路：因子分析法是一種多元統計方法，它從研究相關矩陣內部的依賴關系出發，根據相關性大小把變量分組（使得同組內的變量之間相關性不高，而不同組內的變量之間相關性較低），這樣，在盡量減少信息丟失的前提下，從眾多指標中提取出少量的不相關指標，然后再根據方差貢獻率確定權重，進而計算出綜合得分的一種方法。理論模型：設m個可能存在相關關系的測試變量z1,z2,……,zm含有P個獨立的公共因子F1,F2,……,Fp(m≥p),測試變量zi含有獨特因子Ui(i=1…m)，諸Ui間互不相關，且與Fj(j=1…p)也互不相關，每個zi可由P個公共因子和自身對應的獨特因子Ui線性表出：（1）用矩陣表示：簡記為（2）且滿足：(I)P≤m；(II)COV(F.U)=0（即F與U是不相關的）；(III)E(F)=0COV(F)=。即F1,……FP不相關，且方差皆為1，均值皆為0(IV)E(U)=0COV(U)=Im即U1,……,Um不相關，且都是標準化的變量，假定z1,……,zm也是標準化的，但并不相互獨立。式中A稱為因子負荷矩陣，其元素(即(7.2-1)中各方程的系數)aij表示第i個變量(zi)在第j個公共因子Fj上的負荷，簡稱因子負荷，如果把zi看成P維因子空間的一個向量，則aij表示zi在坐標軸Fj上的投影。因子分析的目的就是通過模型（1）或（2），以F代Z，由于一般有P＜m，從而達到簡化變量維數的愿望。二、使用軟件和軟件實現過程采用Eviews5.1、SPSS12.0、Stata5.1、SASRelease8.02等計量軟件均可完成上述因子分子模型，建議采用SPSS12.0操作。因子分析的基本步驟如下（事物可觀測原始變量為x1,x2，……，xp）：(1)對原始變量標準化。在因子分析求解時若采用主成分法，由于主成分分析在通過總體協方陣求主成分時，往往優先顧及方差較大的變量，受變量的計量單位影響較大，有時會造成不合理的結果，所以為了消除這種影響，需在分析之前，對原始變量標準化。標準化最常規的方法是將原變量數列化為均值為0、方差為1的數列，即令；(2)求出標淮化數據zx1,zx2，……，zxp的協方差矩陣，或相關系數矩陣R(兩者等價)；(3)求R的特征值及相應的一組正交單位特征向量；(4)計算累計貢獻率，確定公共因子個數及因子載荷矩陣A；項支出所占比重也逐年下降。另一方面，表1說明:醫療保健、交通通訊、文教娛樂和住房消費所占比重在逐年上升。這是因為隨著社會的發展，居民的保健意識增強，更關注自身的身心健康，再加上醫保制度的改革，所以醫療保健所占比重逐年上升；由于城鎮居民家庭擁有小汽車的比例增加，移動通訊的普遍使用，網絡通訊進入家庭，因而交通和通訊所占比重也是上升的；由于居民對自身進一步發展和子女教育的投入力度加大，并且在物資享受已經得到滿足的情況下更加注重精神享受，所以文教和娛樂方面的支出增多;隨著我國住房制度的改革，居民在居住上面的支出也出現了大幅增加。為了進一步研究消費結構的變化情況，下面用因子分析法，對表1的數據進行統計分析。表1重慶城鎮居民消費結構變化（%）年份食品(X1)衣著(X2)家庭設備(X3)醫療保健(X4)交通通訊(X5)文教娛樂(X6)居住(X7)雜項(X8)198845.5212.179.83.39612.926.094.11199944.5011.79.43.86.912.47.24.1200040.4010.18.75.47.414.494.6200138.7010.28.85.87.714.79.84.3200238.009.87.16.89.716.79.32.62、消費結構的因子模型由表1中資料得樣本均值向量:X=(41.42，10.79，8.76，5.04，7.54，14.22，8.27，3.94)，且用軟件SPSS計算變量的相關系數矩陣的特征值和貢獻率見表2。由表2可以看出變量相關系數矩陣有兩個大的特征根為6.6721和1.142，其累計貢獻率達到98.292%，又根據圖1，前兩個公因子變化最大，說明前兩個公因子提供了原始數據8個指標所能表達的足夠的信息。表2相關矩陣的特征值與貢獻率變量序列號因子分析初始解對變量的描述提取共因子后對變量的描述特征值方差貢獻率累計方差貢獻率特征值方差貢獻率累計方差貢獻率16.72084.01784.0176.72084.01784.01721.42014.27598.2921.14214.27598.29230.0831.03699.32940.0540.671100.00050.0000.000100.00060.0000.000100.00070.0000.000100.00080.0000.000100.000因此提取兩個主因子，用主成份分析法和正交旋轉法計算得旋轉前后的因子載荷陣如表3所示。表3因子載荷陣原始因子載荷陣旋轉后因子載荷陣變量公因子共同度公因子1212X1-0.96-0.260.989-0.9410.323X2-0.942-0.3180.987-0.9580.264X3-0.960.250.984-0.6550.745X40.9940.1030.9990.881-0.472X50.961-0.2350.9790.664-0.734X60.969-0.1120.9520.74-0.036X70.8760.4610.980.984-0.109X8-0.6110.7870.993-0.0650.994由表3可得消費結構的因子分析模型為選用回歸法估算因子得分系數如表4所示。表4因子得分系數變量X1X2X3X4X5X6X7X8公因子序號1-0.246-0.2720.0040.1730.0030.6640.3340.3112-0.109-1.520.261-0.009-0.251-0.1620.2610.622由此計算5年的因子得分如表5所示。表5各年份因子得分因子19981999200020012002F1-1-1.29601-0.83920.718780.927680.48875F2-10.122770.180810.770190.64263-1.716413、結果分析從表3可以看出，第一個主因子在X1，X2，X4，X6，X75個方面有較大載荷，這幾項指標主要反映居民為了生存必需要消費支出的變化情況，因此命名為生存型消費因子；第二個主因子在X3，X5，X83方面有較大載荷，這幾項指標主要反映居民為了改善生活，提高生活效率如購買小汽車，使用移動通訊等方面的消費支出變化情況，因此命名為享受型消費因子。分類情況如表6所示。表6主因子分析高載荷指標因子命名1食品，衣著，醫療保健，文教娛樂，居住生存型消費因子2家庭設備，交通通訊，雜項商品及服務享受型消費因子結合表1，根據分類將各年數據相加，得生存型消費因子與享受型消費因子在1998-2002年這5年中所占比重如表7所示。表7各年份兩型因子所占比重（%）19981999200020012002生存型消費因子80.1979.679.379.280.6享受型消費因子19.9120.420.720.819.4由表7可知，這5年來，生存型消費因子所占比重基本為80%左右，享受型消費因子所占比重為20%左右，各自的變化幅度不大。這說明雖然重慶市城鎮居民的收入增加了，但是由于醫療、住房制度的改革和教育收費標準的提高，居民生存型消費支出在增加，但另一方面用于享受型消費支出也出現相應的增加，這兩型因子所占比重基本維持在8:2的水平上，說明重慶市城鎮居民消費結構保持相對穩定，變化不大。四、評價及問題方法評價：因子分析法最大優勢在于各綜合因子的權重不是主觀賦值而是根據各自的方差貢獻率大小來確定的，方差越大的變量越重要，從而具有較大的權重；相反，方差越小的變量所對應的權重也就越小。這就避免了人為確定權重的隨意性，使得排行結果唯一，而且較為客觀合理。此外，因子分析的整個過程都可以運用計算機軟件方便快捷地進行，可操作性強。因此，與其他方法相比，因子分析法是一種科學、實用、簡便的綜合排行方法，適用于解決多指標的綜合評價問題。需注意問題：（1）在利用因子分析法的開始階段，應當盡可能多地選取與研究對象有關的指標，以免遺漏重要的評估指標。然后，就可以通過因子分析選擇相對更為有效的指標，構建研究對象評估的指標體系，進而進行基于數據本身的相對客觀的評估。（2）設定好因子分析指標后，還要對因子分析法的可行性進行研究。因子分析法應用的前提是原有變量之間應具有較強的相關關系，否則根本無法從中綜合出能夠反映某些變量共同特性的幾個較少的公共因子變量。（3）當然，因子分析法作為一種比較性的方法，也有其局限性。主要的局限性在于它需要較多的數據，只有這樣才能根據這些數據分析出研究對象與各指標有關的不可觀測的因子，進而