專題148字型和反8字型相似模型【模型1】8字型模型如圖14-1，要證明∽根據(jù)對頂角相等，可知，只需知道，即可知另一組對應(yīng)角相等。可得∽。【模型2】反8字型模型如圖14-2，要證明∽根據(jù)對頂角相等，可知，只需再知道一組對應(yīng)角相等即可，即或即可得證∽。【例1】如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【例2】如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則正方形的邊長為_______cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，得到設(shè)求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【解析】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點(diǎn)，為BC的三等分點(diǎn)，設(shè)為等腰直角三角形，為AE的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【例3】已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．一、單選題1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，，則．【解析】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點(diǎn)∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．2．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設(shè)，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后相比計(jì)算即可得解．【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2設(shè)，則，：：2，：：：2，，，是平行四邊形ABCD的對角線，，，：：：5．故選A．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．4．如圖，正方形的對角線、相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則等于A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴∴解得DF=8，故選：D．5．如圖，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AC的延長線于點(diǎn)E，那么CE等于（

）cm．A．32 B．24 C．48 D．64【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【解析】解：標(biāo)出字母，如圖：∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，∴∠EAD=∠MAD，∵DE∥AB交AC的延長線于點(diǎn)E，∴∠EDA=∠MAD，∠BAC=∠CED，∴∠EAD=∠EDA，∴ED=EA，∵在三角形ABC與三角形CED中，∠BAC=∠CED，∠BCA=∠ECD，∴△ABC∽△CED，∴，∵AB=15cm，AC=12cm，設(shè)ED=15k，∴CE=12k，∴ED=15k=EA=EC+CA=12k+12，∴3k=12，∴k=4，∴CE=12k=48（cm），故選：C．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【解析】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．7．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE平分∠DCB交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠ACD＝30°；②S平行四邊形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到S?ABCD=AC?BC，故②正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③錯(cuò)誤；由三角形的中位線可得BC∥OE，可判斷△OEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正確．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等邊三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；∵AC⊥BC，∴S?ABCD=AC?BC，故②正確，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=：6；故③錯(cuò)誤；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2∴S△OCF：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正確．故選C．8．如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．【解析】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．二、填空題9．已知與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，若，則與的面積之比為__________．【答案】1：9【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出答案．【解析】解：∵△AOB與△COD是位似圖形．位似中心為點(diǎn)O，OA：OC=1：3，∴△AOB與△COD的面積之比為：1：9．故答案為：1：9．10．已知中，分別是直線和上的點(diǎn)，若且，則_________．【答案】4或8【分析】通過比例式，可以確定AE的長度，點(diǎn)E是直線AB上的點(diǎn)，沒有限定E的位置，只限定AE的長度，以點(diǎn)A為圓心，AE長為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)是點(diǎn)E位置，有兩個(gè)，要分類求即可．【解析】如圖∵AB=6，AC=9，AD=3，，∴AE==2，當(dāng)E在AB上,∴BE=AB-AE=6-2=4,當(dāng)E在AB延長線上，BE=AB+AE=6+2=8,則BE的長為4或8．故答案為：4或8．11．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【解析】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．12．如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】【分析】將補(bǔ)成矩形，延長交于點(diǎn)，可得，結(jié)合已知可求、，再由即可求出CE．【解析】解：如解圖，補(bǔ)成矩形，延長交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設(shè)，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．三、解答題13．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點(diǎn)G，GF的延長線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【解析】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．14．如圖，為平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，連接．交于，交于．求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例即可．【解析】證明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴∴，即．15．如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因?yàn)椤祝鶕?jù)相似三角形的性質(zhì)可知，代入數(shù)據(jù)解答即可．【解析】證明：（1），，∽；（2）∽，，，，，，，．16．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷，所以，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，易得AH∥DE，由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后利用等線段代換即可．【解析】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，為的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF?EG=AF?DG．17．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過點(diǎn)P作BC的垂線段PH，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，構(gòu)建方程求解即可；（2）證明，由相似的性質(zhì)得出，，由此構(gòu)建方程求解即可；（3）根據(jù)矩形的面積是四邊形面積的，構(gòu)建方程求解即可．【解析】解：（1），，，由題可得：，，，四邊形是矩形，，，，，，，即，，，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；（2）存在一個(gè)時(shí)刻，使，當(dāng)時(shí)，，，，，，，即，，解得：，當(dāng)時(shí)，；（3）存在，由題意得：，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，矩形的面積是四邊形面積的．18．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長線和的延長線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，由得，則答案可解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．19．如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，得到，則問題可解；（2）根據(jù)題意分別證明，問題可證．【解析】解：（1）是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．20．已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)（1）已求，從而可得，然后根據(jù)線段的和差即可得；②先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，由此即可得證．【解析】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點(diǎn)∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．21．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結(jié)論；（3）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結(jié)論；②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據(jù)AH∥PD，得，設(shè)PD=3h，AH=4h，根據(jù)EG∥AC，同理得，設(shè)BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結(jié)論．【解析】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設(shè)PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設(shè)BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點(diǎn)作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時(shí)，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或23．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，分別過點(diǎn)A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點(diǎn)D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）證明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝CM；（2）證明△AND∽△BMD，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，則可得出答案；（3）延長ME，AN相交于點(diǎn)H，證明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，證得HN＝MN，過點(diǎn)E作EG⊥BM于點(diǎn)G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．【解析】（1）證明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACN＝∠CBM，又∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBM（AAS），∴AN＝CM；（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，∴△AND∽△BMD，∴