專題2胡不歸中的雙線段模型與最值問題【專題說明】胡不歸模型問題解題步驟如下；1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題【模型展示】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．【例題】1、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為5．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．【解析】(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線解析式為，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式得，，∴，∴拋物線的解析式為，即．令，解得，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，代入拋物線解析式得，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．(2)過點(diǎn)作軸交于，如圖，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．(3)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．2、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是？【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．

3、已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，則，，故有最大值，此時(shí)，故點(diǎn)；(4)存在，理由：如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)，而點(diǎn)，則，即的最小值為．4、已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．【解析】（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴．即．當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．由，得，，∴點(diǎn)在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)．如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．可知點(diǎn)在第四象限，且在直線的右側(cè)．考慮到，可取點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，有，得，則此時(shí)點(diǎn)滿足題意．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．在中，可知．∴，．∵點(diǎn)，∴．解得．∵，∴．∴．5、如圖，在平面在角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）連結(jié)BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過點(diǎn)M作MN⊥BD交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時(shí)，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O瓶時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）如圖1∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，且﹣4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1，﹣4）,∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，由題意，可設(shè)點(diǎn)N（m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴當(dāng)m＝＝2時(shí)，NF取到最大值，此時(shí)MN取到最大值，此時(shí)HF＝2，此時(shí)，N（2，﹣3），F(xiàn)（2，﹣2），H（2，0）在x軸上找一點(diǎn)K（，0），連接CK，過點(diǎn)F作CK的垂線交CK于點(diǎn)J點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，∴sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：，且點(diǎn)F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：,∴點(diǎn)J（,）∴FP+PC的最小值即為FJ的長，且,∴；（2）由（1）知，點(diǎn)P（0，），∵把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q,∴點(diǎn)Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中點(diǎn)G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時(shí)，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G①如圖2G點(diǎn)落在y軸的負(fù)半軸，則G（0，﹣），過點(diǎn)Q'作Q'I⊥x軸交x軸于點(diǎn)I，且∠GOQ'＝∠Q'則∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO