“算法初步、復數、推理與證明”雙基過關檢測一、選擇題1．若z＝i(3－2i)(其中i為復數單位)，則eq\x\to(z)＝()A．3－2i B．3＋2iC．2＋3i D．2－3i解析：選D由z＝i(3－2i)＝2＋3i，得eq\x\to(z)＝2－3i.2．已知i為虛數單位，a為實數，復數z＝eq\f(a－3i,1－i)在復平面上對應的點在y軸上，則a為()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3解析：選A∵z＝eq\f(a－3i,1－i)＝eq\f(a－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a＋3－3－ai,2)，又復數z＝eq\f(a－3i,1－i)在復平面上對應的點在y軸上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3＝0，,3－a≠0，))解得a＝－3.3．分析法又稱執果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：選Ceq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a?(a－c)(a－b)>0.4．利用數學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應增乘的因式是()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1)D.eq\f(2k＋3,k＋1)解析：選B當n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，則左邊應增乘的式子是eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．5．(2017·北京高考)執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,3) D.eq\f(8,5)解析：選C運行該程序，k＝0，s＝1，k<3；k＝0＋1＝1，s＝eq\f(1＋1,1)＝2，k<3；k＝1＋1＝2，s＝eq\f(2＋1,2)＝eq\f(3,2)，k<3；k＝1＋2＝3，s＝eq\f(\f(3,2)＋1,\f(3,2))＝eq\f(5,3)，此時不滿足循環條件，輸出s，故輸出的s值為eq\f(5,3).6．若數列{an}是等差數列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，則數列{bn}也為等差數列．類比這一性質可知，若正項數列{cn}是等比數列，且{dn}也是等比數列，則dn的表達式應為()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n))D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析：選D因為數列{an}是等差數列，所以bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝a1＋(n－1)·eq\f(d,2)(d為等差數列{an}的公差)，{bn}也為等差數列，因為正項數列{cn}是等比數列，設公比為q，則dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝eq\r(n,c1·c1q·…·c1qn－1)＝c1q，所以{dn}也是等比數列．7．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果是eq\f(99,199)，則判斷框內應填的內容是()A．n<98? B．n<99?C．n<100? D．n<101?解析：選B由eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)，可知程序框圖的功能是計算并輸出S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1)的值．由題意令eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(99,199)，解得n＝99,即當n<99時，執行循環體，若不滿足此條件，則退出循環，輸出S的值．8．已知“整數對”按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數對”是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解：選B依題意，把“整數對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數對”，這樣的前n組一共有eq\f(nn＋1,2)個“整數對”，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60個“整數對”處于第11組(每個“整數對”的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每個“整數對”的和為12的組中的各對數依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數對”是(5,7)．二、填空題9．M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)與1的大小關系為__________．解析：因為M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,210＋210－1)所以M<1.答案：M<110．若復數z＝eq\f(a＋i,i)(其中i為虛數單位)的實部與虛部相等，則實數a＝________.解析：因為復數z＝eq\f(a＋i,i)＝eq\f(ai＋i2,i2)＝1－ai，所以－a＝1，即a＝－1.答案：－111．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14,18，則輸出的a＝________.解析：a＝14，b＝18.第一次循環：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循環：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循環：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循環：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循環：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循環：a＝b＝2，跳出循環，輸出a＝2.答案：212．設n為正整數，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，觀察上述結果，可推測一般的結論為________．解析：∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)＞2＝eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，∴歸納得f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)．答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)三、解答題13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求證：eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c).證明：要證eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)，只需證(eq\r(d)＋eq\r(a))2＜(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即證a＋d＋2eq\r(ad)＜b＋c＋2eq\r(bc)，因為a＋d＝b＋c，所以只需證eq\r(ad)＜eq\r(bc)，即證ad＜bc，設a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，從而eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)成立．14．等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1＋\r(2)，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)，得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(