(四)立體幾何1．(2018·峨眉山市第七教育發展聯盟模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB＝PA，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是PA的中點．(1)求證：BM∥平面PCD；(2)求三棱錐B－CDM的體積．(1)證明取PD中點N，連接MN，NC，∵MN為△PAD的中位線，∴MN∥AD，且MN＝eq\f(1,2)AD.又∵BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴MN∥BC，且MN＝BC，則BMNC為平行四邊形，∴BM∥NC，又∵NC?平面PCD，MB?平面PCD，∴BM∥平面PCD.(2)解過M作AB的垂線，垂足為M′，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，MM′?平面PAB，∴MM′⊥平面ABCD.∴MM′為三棱錐M－BCD的高，∵AB＝8，PA＝PB，∠BPA＝90°，∴△PAB邊AB上的高為4，∴MM′＝2，過C作CH⊥AD交AD于點H，則CH＝AB＝8，S△BCD＝eq\f(1,2)×BC×CH＝eq\f(1,2)×6×8＝24，∴VB－CDM＝VM－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD×MM′＝eq\f(1,3)×24×2＝16.2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因為AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因為AF⊥EF，(1)中已證AB∥EF，所以AB⊥AF.由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.3．(2018·安徽省合肥市第一中學模擬)在如圖所示的幾何體ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D為AC的中點，EF∥DB.(1)求證：AC⊥FB；(2)若AB⊥BC，AB＝4，AE＝3，BF＝eq\r(3)，BD＝2EF，求該幾何體的體積．(1)證明∵EF∥BD，∴EF與BD確定平面EFBD，連接DE，∵AE＝EC，D為AC的中點，∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC，又∵BD∩DE＝D，BD，DE?平面EFBD，∴AC⊥平面EFBD，∵FB?平面EFBD，∴AC⊥FB.(2)解由(1)可知AC⊥平面BDEF，∴VACBFE＝VA－BDEF＋VC－BDEF＝eq\f(1,3)·SBDEF·AC，∵AB＝BC，AB⊥BC，AB＝4，∴AC＝4eq\r(2)，BD＝2eq\r(2)，又AE＝3，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝1.在梯形BDEF中，取BD的中點M，連接MF，則EF∥DM且EF＝DM，∴四邊形FMDE為平行四邊形，∴FM∥DE且FM＝DE.又BF＝eq\r(3)，∴BF2＝FM2＋BM2，∴FM⊥BM，S梯形BDEF＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋2\r(2)))×1＝eq\f(3\r(2),2)，∴VACBFE＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)×4eq\r(2)＝4.4.在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD＝eq\f(1,2)BC，AD＝1，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC.(1)證明：AB⊥CF；(2)若多面體ABCDFE的體積為eq\f(3\r(3),8)，求線段CF的長．(1)證明∵EA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EA⊥AB，作AH⊥BC于點H，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，BH＝eq\f(1,2)，得AB＝1，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°＝3，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC.又AC∩EA＝A，AC，EA?平面ACFE，∴AB⊥平面ACFE，又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF.(2)解設AE＝a，作DG⊥AC于點G，由題意可知平面ACFE⊥平面ABCD，又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，DG?平面ABCD，∴DG⊥平面ACFE，且DG＝eq\f(1,2)，又VB－ACFE＝eq\f(1,3)S梯形ACFE×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))×a×1＝eq\f(\r(3),4)a，VD－ACFE＝eq\f(1,3)S梯形ACFE×DG＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))×a×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8)a，∴V多面體ABCDFE＝VB－ACFE＋VD－ACFE＝eq\f(3\r(3),8)a＝eq\f(3\r(3),8)，得a＝1.連接FG，則FG⊥AC，∴CF＝eq\r(FG2＋CG2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2).5．(2018·四川省成都市第七中學診斷)在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，AB＝AD＝1，CD＝2.(1)求證：平面EBC⊥平面EBD；(2)設M為線段EC上一點，3eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT∥平面BDE？若存在，試指出點T的位置；若不存在，說明理由；(3)在(2)的條件下，求點A到平面MBC的距離．(1)證明因為平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴ED⊥BC.過B作BH⊥CD交CD于點H.故四邊形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°.在△BCH中，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°，BC＝eq\r(2)，又∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD.∵BD∩ED＝D，BD，ED?平面EBD，∴BC⊥平面EBD，BC?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.(2)解在線段BC上存在點T，使得MT∥平面BDE.在線段BC上取點T，使得3eq\o(BT,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，連接MT.在△EBC中，∵eq\f(BT,BC)＝eq\f(EM,EC)＝eq\f(1,3)，∴△CMT∽△CEB，所以MT∥EB，又MT?平面BDE，EB?平面BDE，∴MT∥平面BDE.

(3)解點A到平面MBC的距離就是點A到平面EBC的距離，設點A到平面EBC的距離為h，由(1)