第一篇核心專題提升?多維突破專題三函數與導數第2講基本初等函數、函數與方程分析考情·明方向真題研究·悟高考考點突破·提能力分析考情·明方向高頻考點高考預測基本初等函數的圖象、性質在選擇、填空題中基本初等函數的圖象、性質是高考考查的重點，利用函數性質比較大小是常見題型；函數的零點有關的題目，常結合函數的性質綜合考查，注意該知識點易命制成多選題，也可以函數實際應用呈現.函數零點的個數及所在區間判斷和已知零點求參數范圍函數的實際應用

真題研究·悟高考A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<cCA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<bD3.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝(

)C4.(2020·全國Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，則(

)A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0【解析】

由2x－2y<3－x－3－y得：2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－

3－t，∵y＝2x為R上的增函數，y＝3－x為R上的減函數，∴f(t)為R上的增函數，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，則A正確，B錯誤；∵|x－y|與1的大小不確定，故C、D無法確定．故選A．AA．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6C6.(2022·全國甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(

)A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>aA聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2ACD考點突破·提能力核心考點1基本初等函數的圖象與性質核心知識·精歸納1.一般冪函數的圖象特征(1)所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．(2)當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．(3)當α<0時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數．(4)冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．(5)在第一象限作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．2.指數函數y＝ax(a>0，a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數，其圖象關于y＝x對稱，它們的圖象和性質分0<a<1，a>1兩種情況，著重關注兩函數圖象的異同．3.常見的幾個結論(1)已知a>0且a≠1，則ab>1?(a－1)b>0,0<ab<1?(a－1)b<0.(2)已知a>0且a≠1，b>0，則logab>0?(a－1)(b－1)>0，logab<0?(a－1)(b－1)<0.多維題組·明技法角度1：冪函數、指數函數、對數函數的圖象1.(2023·海南一模)已知函數y＝xa，y＝bx，y＝logcx的圖象如圖所示，則(

)A．ea<ec<eb

B．eb<ea<ecC．ea<eb<ec

D．eb<ec<ea【解析】

由圖象可知：a<0<b<1<c，∴ea<eb<ec.故選C．CA．點P B．點QC．點M D．點NDA．r<p<q B．q<p<rC．r<q<p D．p<q<rD角度2：冪函數、指數函數、對數函數的性質A．b>a>c B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>bA5.(2023·贛州二模)若log3x＝log4y＝log5z<－1，則(

)A．3x<4y<5z B．4y<3x<5zC．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解析】

令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，則x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐標系內畫出y＝3x，y＝4x，y＝5x，故5z<4y<3x.故選D．DA方法技巧·精提煉(1)對數函數與指數函數的單調性都取決于其底數的取值，當底數a的值不確定時，要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論：當a>1時，兩函數在定義域內都為增函數；當0<a<1時，兩函數在定義域內都為減函數．(2)基本初等函數的圖象和性質是統一的，在解題中可相互轉化．加固訓練·促提高1.(2023·棗莊二模)指數函數y＝ax的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x圖象頂點橫坐標的取值范圍是(

)A2.(2023·聊城三模)設a＝0.20.5，b＝0.50.2，c＝log0.50.2，則(

)A．a>c>b B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a【解析】

由y＝0.2x單調遞減可知：0.20.5<0.20.2，由y＝x0.2單調遞增可知：0.20.2<0.50.2，所以0.20.5<0.50.2，即a<b，且b<1，由y＝log0.5x單調遞減可知：c＝log0.50.2>log0.50.5＝1，所以c>b>a.故選D．D核心考點2函數的零點和方程核心知識·精歸納1.函數的零點與方程的解(1)函數零點的概念對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)函數零點與方程實數解的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．(3)函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．(4)函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象的交點的橫坐標。2.二分法對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．多維題組·明技法角度1：函數零點的個數或存在情況1.函數f(x)＝2x＋lnx－1的零點所在的區間為(

)BA．1 B．0C．2 D．3A角度2：已知函數的零點個數或存在情況求參數及其范圍3.若f(x)＝x＋2x＋a的零點所在的區間為(－1,1)，則實數a的取值范圍為(

)C(－∞，1]h(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，當a≤1時，曲線h(x)與y＝a恒有兩個交點，即g(x)有兩個零點，所以a的取值范圍是(－∞，1]．方法技巧·精提煉1.判斷函數零點個數的方法(1)利用零點存在性定理判斷法．(2)代數法：求方程f(x)＝0的實數根．(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，利用函數的性質找出零點或利用兩個函數圖象的交點求解．在利用函數性質時，可用求導的方法判斷函數的單調性．2.利用函數零點的情況求參數值(或取值范圍)的三種方法加固訓練·促提高1.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且滿足f(x＋2)＝f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，則函數y＝f(x)－|log4|x||的零點個數為(

)A．2 B．4C．6 D．8D【解析】

y＝f(x)－|log4|x||的零點個數，即y＝f(x)與y＝|log4|x||的圖象的交點個數，作出圖象可得共有8個交點．故選D．A．1≤a≤2 B．a≥3C．1≤a≤2或a≥3 D．1≤a<2或a≥3D【解析】

作出函數y＝2x－4與y＝(x－1)(x－3)的圖象，當a<1時，只有B一個零點；當1≤a<2時，有A，B兩個零點；當2≤a<3時，有A一個零點；當a≥3時，有A，C兩個零點；綜上，實數a的取值范圍是1≤a<2或a≥3，故選D．核心考點3函數的實際應用核心知識·精歸納1.幾類函數模型2.三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調性單調________單調________單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大，逐漸表現為與________平行隨x的增大，逐漸表現為與________平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax遞增遞增y軸x軸3.關鍵提醒(1)“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長速度緩慢．(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵．(3)易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性．多維題組·明技法A．130元/千克 B．160元/千克C．170元/千克 D．180元/千克CA．17 B．18C．19 D．20D方法技巧·精提煉求解函數應用問題的一般程序及關鍵(2)解題關鍵：解答這類題的關鍵是準確地建立相關函數關系，然后應用函數、方程、不等式和導數的有關知識加以綜合解答．加固訓練·促提高1