青島十七中20232024學年度第一學期期中階段性檢測數學試題命題人：李春娟審核人：王克輝、孫安濤本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試限定用時120分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、座號、考號分別填寫在試卷和答題紙規定的位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.設，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數的定義域為（）A. B. C. D.5.已知函數，則的大致圖象是A. B.C. D.6.已知關于不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B. C. D.7.當生物死亡后，它機體內原有的碳會按確定的規律衰減.按照慣例，人們將每克組織的碳含量作為一個單位，大約每經過年一個單位的碳衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物組織內的碳的含量不足死亡前的萬分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳了.如果用一般的放射性探測器不能測到碳，那么死亡生物組織內的碳至少經過了（）個“半衰期”.（參考數據）A. B. C. D.8.已知是奇函數，且在上是增函數，又，則解集為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若冪函數的圖象過，下列說法正確的有（）A.且 B.是偶函數C.在定義域上是減函數 D.值域為10.已知，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.11.下列說法正確的為（）A.對任意實數，函數的圖象必過定點B.C.與關于原點對稱D.函數在上單調遞增12.設，且，則下列結論正確的是（）A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最大值為6第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則=___________.14.命題：，.若為真命題，則實數的取值范圍是_______.15.若lg2＝a，lg3＝b，則log512等于________．16.已知函數是上單調函數，那么實數的取值范圍是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17化簡求值：（1）；（2）.18.已知函數（且）的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由.19.已知二次函數滿足，且.（1）求的解析式；（2）解關于的不等式.20.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.（1）求的值；（2）求函數的解析式；（3）判斷函數在區間上的單調性，并證明.21.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經歷了從無到有，從單線到多線，從點到面，從面到網，形成網格化運營，分擔了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，經市場調研測算，列車的載客量與發車時間間隔t相關，當時，列車為滿載狀態，載客量為600人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為（1）求的表達式，并求當發車時間間隔為5分鐘時的載客量；（2）若該線路每分鐘凈收益為（單位：元），則當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.22.設函數（，且）．（1）若，證明是奇函數，并判斷單調性（不需要證明）；（2）若，求使不等式恒成立時，實數的取值范圍；（3）若，，且在上的最小值為，求實數的值．五、附加題（本小題滿分10分）23.（1）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，若，則的值為___________.（2）已知關于的方程有四個不同的實根，則的取值范圍為___________.

青島十七中20232024學年度第一學期期中階段性檢測數學試題命題人：李春娟審核人：王克輝、孫安濤本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試限定用時120分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、座號、考號分別填寫在試卷和答題紙規定的位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由特稱命題否定是全稱命題判斷.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題可得，“”的否定為“”.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式確定集合后再求交集即可．【詳解】由題意，，所以．故選：A．3.設，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得不等式的解集，由此判斷出充分、必要條件.【詳解】由得，即，所以“”是“”充分不必要條件.故選A.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題.4.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數有意義，則滿足，解得且，所以函數的定義域為.故選：B5.已知函數，則的大致圖象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值、、，排除錯誤選項.【詳解】當時，，排除A，當時，，排除D，當時，，排除C，故選B.【點睛】從函數解析式結合選項，發現零點、單調性、奇偶性、過特殊點等性質，是求解函數圖象問題的常見方法.6.已知關于的不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據不等式的解集確定是方程的兩個實數根，且，進而得，化簡為，即可求得答案.【詳解】由題意關于的不等式的解集是，可知是方程的兩個實數根，且，則，則，故即，即或，即不等式的解集是，故選：C.7.當生物死亡后，它機體內原有的碳會按確定的規律衰減.按照慣例，人們將每克組織的碳含量作為一個單位，大約每經過年一個單位的碳衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物組織內的碳的含量不足死亡前的萬分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳了.如果用一般的放射性探測器不能測到碳，那么死亡生物組織內的碳至少經過了（）個“半衰期”.（參考數據）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設生物組織內原有的碳含量為，經過n個半衰期后含量為，根據題意建立不等式求解即可.【詳解】由題意可設生物組織內原有的碳含量為，需要經過個半衰期才能不被測到碳，則，即，所以，，，所以.故選：B8.已知是奇函數，且在上是增函數，又，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數的奇偶性以及在上的單調性確定函數值的正負情況，結合可得相應不等式組，即可求得答案.【詳解】因為定義在R上的奇函數在上單調遞增，且，所以在上也是單調遞增，且，所以當時，，當時，，所以由可得或,即或，解得或，即的解集為，故選：A.【點睛】本題考查了函數的奇偶性以及單調性的綜合應用，考查抽象不等式的解法，解答時要明確函數的對稱性質，進而判斷函數值的正負情況，解答的關鍵時根據不等式結合函數值情況得到相應不等式組，求得結果.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若冪函數的圖象過，下列說法正確的有（）A.且 B.偶函數C.在定義域上是減函數 D.的值域為【答案】AB【解析】【分析】根據冪函數的定義可得，由經過可得，進而得，結合選項即可根據冪函數的性質逐一求解.【詳解】對于A;由冪函數定義知，將代入解析式得，A項正確；對于B;函數的定義域為，且對定義域內的任意x滿足，故是偶函數，B項正確；對于C;在上單調遞增，在上單調遞減，C錯誤；對于D;的值域不可能取到0，D項錯誤.故選：AB10.已知，則下列選項正確的是（）A B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用可推導出，然后利用不等式的基本性質可判斷各選項的正誤.【詳解】由可得，，則，由不等式的性質可得，即.對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，，則，B選項正確；對于C選項，，則，即，C選項正確；對于D選項，，由不等式的基本性質可得，D選項正確.故選：BCD.11.下列說法正確的為（）A.對任意實數，函數的圖象必過定點B.C.與關于原點對稱D.函數在上單調遞增【答案】BC【解析】【分析】根據指數函數圖像及性質可判斷，；結合奇函數性質可判斷；根據復合函數單調性可判斷.【詳解】對于，函數過定點，則，即，，故錯誤；對于，，，因為，所以,而，所以，故正確；對于，令，則，因為,所以，同理，當時，也成立，當時，,綜上所訴，與關于原點對稱，故正確；對于，令，則在上單調遞減，而單調遞增，所以在上單調遞減，故錯誤.故選：.12.設，且，則下列結論正確的是（）A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最大值為6【答案】AC【解析】【分析】根據，且，結合基本不等式逐項求解最值即可判斷正誤.【詳解】解：對于A選項：，當成立，故A正確；對于B選項：，由于，所以，當且僅當成立，故無最大值，故B錯誤；對于C選項，，當時，又能取等號，故C正確；對于D選項，，當成立，故最小值為6，故D錯誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則=___________.【答案】1【解析】【分析】先求出，繼而計算.【詳解】.故答案為：1.14.命題：，.若為真命題，則實數的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據題意，分離參數，再由二次函數最值，代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，為真命題，則在上恒成立，令，，則，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：15.若lg2＝a，lg3＝b，則log512等于________．【答案】【解析】【分析】先用換底公式把換成常用對數，再把真數12化為，利用對數運算法則.【詳解】解：故答案為：.16.已知函數是上的單調函數，那么實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分段函數單調，則每一段均單調，并且注意分界點位置高度判斷.【詳解】∵函數是上的單調函數，①是上的單調遞增函數，則，無解；②是上的單調遞減函數，則，解得.綜上所述：的取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.化簡求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據分數指數冪以及根式的運算法則，化簡求值，可得答案;（2）根據對數的運算法則化簡求值，可得答案.【小問1詳解】;【小問2詳解】.18.已知函數（且）的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由.【答案】（1）,（2）奇函數【解析】【分析】（1）代點求值，對數真數大于0求定義域.（2）一求定義域是否關于原點對稱，二找的關系.【小問1詳解】已知函數（且）的圖象過點，∴，即.又，即,解得.∴的定義域為.【小問2詳解】為奇函數，理由如下：由（1）知：，的定義域為，定義域關于原點對稱，又，即，∴為奇函數.19.已知二次函數滿足，且.（1）求的解析式；（2）解關于的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】(1)設二次函數的解析式為()，根據題意利用待定系數法求出a、b、c即可；(2)將原不等式化為，分類討論，結合一元二次不等式的解法求出不等式當、、時的解集即可.【小問1詳解】設，由，得又，則，解得，所以.【小問2詳解】由已知，即，即，①當時，原不等式即為：，解得；②當時，解得；③當時，解得綜上，當時，不等式的解集為：，當時，不等式的解集為：，當時，不等式的解集為：.20.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.（1）求的值；（2）求函數的解析式；（3）判斷函數在區間上的單調性，并證明.【答案】（1）（2）（3）在上單調遞增；證明見詳解【解析】【分析】（1）根據函數解析式及函數是奇函數，先求出，進一步計算即可；（2）根據函數是奇函數當時，，，求出解析式，根據奇函數的性質知，最后寫成分段函數形式；（3）根據函數性質判斷函數的單調性，用單調性定義證明即可.【小問1詳解】因為函數是定義在上的奇函數，且當時，，故，所以，則【小問2詳解】依題，當時，，，又，故.【小問3詳解】當時，，故函數在上單調遞增，證明如下：任取且，則，因為且，所以，故，即所以函數在上單調遞增.21.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經歷了從無到有，從單線到多線，從點到面，從面到網，形成網格化運營，分擔了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，經市場調研測算，列車的載客量與發車時間間隔t相關，當時，列車為滿載狀態，載客量為600人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為（1）求的表達式，并求當發車時間間隔為5分鐘時的載客量；（2）若該線路每分鐘凈收益為（單位：元），則當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】（1），發車時間間隔為5分鐘時的載客量為550人（2）當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元【解析】【分析】（1）由已知函數模型求出解析式，然后計算時的發車量；（2）由（1）的函數式求出該線路每分鐘凈收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函數的單調性求解后比較可得．【小問1詳解】當時，當時，設而，，∴，，即發車時間間隔為5分鐘時的載客量為550人.【小問2詳解】當時當且僅當，即時等號成立.當時，單調遞減，當時，取到最大為當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元．22.設函數（，且）．（1）若，證明是奇函數，并判斷單調性（不需要證明）；（2）若，求使不等式恒成立時，實數的取值范圍；（3）若，，且在上的最小值為，求實數的值．【答案】（1）證明見解析，是減函數；（2）(－3，5)；（3）2﹒【解析】【分析】(