PAGE高中數學圓錐曲線基本知識與典型例題第一部分：橢圓基本知識點1.橢圓的定義：第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.第二定義:平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數e(0<e<1)的點的軌跡是橢圓,定點叫做橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準線,常數叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標準方程及其幾何性質(如下表所示)標準方程圖形頂點,,對稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點、、焦距焦距為離心率(0<e<1)準線方程點P(x0,y0)的焦半徑公式|PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0(“左加右減”)|PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0注:1.焦半徑(橢圓上一點到焦點的連線段)公式不要求記憶,但要會運用橢圓的第二定義.2.橢圓參數方程：如圖點的軌跡為橢圓.典型例題例1.F1，F2是定點，且|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則M點的軌跡方程是()(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段例2.已知的周長是16，，B,則動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例3.若F(c，0)是橢圓的右焦點，F與橢圓上點的距離的最大值為M，最小值為m，則橢圓上與F點的距離等于的點的坐標是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果橢圓上有一點P，它到左準線的距離為2.5，那么P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.設F1(-c，0)、F2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點,若∠PF1F2=5∠PF2F1,則橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)例6.設A(－2,)，橢圓3x2＋4y2=48的右焦點是F，點P在橢圓上移動，當|AP|＋2|PF|取最小值時P點的坐標是()。(0,2)(B)(0,－2)(C)(2,)(D)(－2,)例7.P點在橢圓上，F1、F2是兩個焦點，若，則P點的坐標是.例8.寫出滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸與短軸的和為18，焦距為6;.(2)焦點坐標為,,并且經過點(2，1);.(3)橢圓的兩個頂點坐標分別為,,且短軸是長軸的;____.(4)離心率為，經過點(2，0);.例9.是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上運動，則的最大值是．例10.橢圓中心是坐標原點O，焦點在x軸上，e=，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此橢圓的方程.第三部分：拋物線基本知識點1.拋物線的定義:平面內到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程及其幾何性質(如下表所示)標準方程圖形對稱軸軸軸軸軸焦點頂點原點準線離心率1點P(x0,y0)的焦半徑公式用到焦半徑自己推導一下即可如:開口向右的拋物線上的點P(x0,y0)的焦半徑等于x0+.注:1.通徑為2p，這是拋物線的過焦點的所有弦中最短的弦.2.(或)的參數方程為(或)(為參數).典型例題例21.頂點在原點，焦點是的拋物線方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例22.拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是()(A)(B)(C)(D)0例23.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有()(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條例24.過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于()(A)2a(B)(C)(D)例25.若點A的坐標為(3，2)，F為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，P點的坐標為()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例26.動圓M過點F(0，2)且與直線y=-2相切，則圓心M的軌跡方程是.例27.過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和拋物線交于兩點，設這兩點的縱坐標為y1、y2，則y1y2＝_________.例28.以拋物線的焦點為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_____________.例29.過點(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點，則直線l的傾斜角的范圍是.例30設是一常數，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）。(Ⅰ)試證:拋物線頂點在圓H的圓周上；(Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程.第四部分：軌跡問題如何求曲線(點的軌跡)方程,它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數法等求軌跡的方法外，通常設法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關的方程(等量關系)，側重于數的運算，一是尋找與動點有關的幾何條件，側重于形，重視圖形幾何性質的運用。求軌跡方程的一般步驟:建、設、現（限）、代、化.例31.已知兩點M（－2，0），N（2，0），點P滿足=12，則點P的軌跡方程為（） 例32.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動圓與⊙O1內切而與⊙O2外切，則動圓圓心軌跡是()(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支例33.動點P在拋物線y2=-6x上運動,定點A(0,1),線段PA中點的軌跡方程是()（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x（C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例34.過點（2，0）與圓相內切的圓的圓心的軌跡是（）（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）圓例35.已知的周長是16，，B則動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例36.橢圓中斜率為的平行弦中點的軌跡方程為.例37.已知動圓P與定圓C:（x＋2）＋y＝１相外切，又與定直線l：x＝１相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________.例38.在直角坐標系中,,則點的軌跡方程是______.第五部分：圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關系⑴直線與圓錐曲線的位置關系和判定直線與圓錐曲線的位置關系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別為,則它的弦長注:實質上是由兩點間距離公式推導出來的,只是用了交點坐標設而不求的技巧而已(因為，運用韋達定理來進行計算.當直線斜率不存在是,則.注:1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質，以簡化運算。2.當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法.3.圓錐曲線中參數取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。例39.AB為過橢圓=1中心的弦，F(c，0)為橢圓的右焦點，則△AFB的面積最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例40.若直線y＝kx＋2與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）,,,,例41.若雙曲線x2－y2=1右支上一點P(a,b)到直線y=x的距離為，則a＋b的值是().或(D)2或－2例42.拋物線y=x2上的點到直線2x-y=4的距離最近的點的坐標是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例43.拋物線y2=4x截直線所得弦長為3，則k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例44.把曲線按向量平移后得曲線，曲線有一條準線方程為，則的值為（） 例45.如果直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍是.例46.已知拋物線上兩點關于直線對稱，且，那么m的值為.例47.以雙曲線－y2=1左焦點F，左準線l為相應焦點、準線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，則k的取值范圍是___________.例48.雙曲線3x2-y2=1上是否存在關于直線y=2x對稱的兩點A、B?若存在，試求出A、B兩點的坐標；若不存在，說明理由.例題答案例1.D例2.B例3.C先考慮M+m=2a，然后用驗證法.例4.B提示：e=,P點到左準線的距離為2.5，它到左焦點的距離是2，2a=10,P點到右焦點的距離是8，∴P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是4:1;例5.B∵，∴.例6.C提示：橢圓3x2＋4y2=48中，a=4,c=2,e=,設橢圓上的P點到右準線的距離為d，則=,∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d,∴當AP平行于x軸且P點在A點與右準線之間時，|AP|＋d為一直線段，距離最小，此時P點縱坐標等于，∴P點坐標是(2,)例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例9.≤例10.解:設橢圓方程為+=1,(a>b>0)⑴PQ⊥x軸時，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=與題設e=不符,所以PQ不垂直x軸.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得·=①∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，則所求橢圓方程為+y2=1.例11.B例12.C例13.D例14.C例15.C例16.A假設,由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得[點評]考查雙曲線定義和方程思想.例17.例18.例19.⑴設雙曲線方程為(λ≠0),∴∴,∴雙曲線方程為;⑵設雙曲線方程為∴,解之得k=4,∴雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0)，當λ>0時，焦點在x軸上；當λ<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為(a2+k>0，b2-k>0)。比較上述兩種解法可知，引入適當的參數可以提高解題質量，特別是充分利用含參數方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想.例20.解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當△>0時，設A（x1,y1），B（x2,y2）則∴k=1，滿足△>0∴直線AB：y=x+1法二：設A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件△>0是否成立。（2）此類探索性命題通常肯定滿足條件的結論存在，然后求出該結論，并檢驗是否滿足所有條件.本題應著重分析圓的幾何性質，以定圓心和定半徑這兩定為中心設A、B、C、D共圓于⊙OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點。因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點M（x0,y0）則∴M（-3，6）∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中點，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評注：充分分析平面圖形的幾何性質可以使解題思路更清晰，在復習中必須引起足夠重視.例21.B()例22.B例23.B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)例24.C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點，且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q，則p=q=|FK|,例25.解析：運用拋物線的準線性質.答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.例29.例30.解：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：.又設，則其坐標滿足消去x得由此得∴因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H（）是AB的中點，故由前已證OH應是圓H的半徑，且.從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關系問題，一般方法是聯立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項系數和判別式△，利用韋達定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關系．求解有時借助圖形的幾何性質更為簡潔．此題設直線方程為x=ky+2p；因為直線過x軸上是點Q(2p，0)，通常可以這樣設，可避免對