缸會空間點、直線、平面之間的位置關

系

［考試要求］

L借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象

出空間點、直線、平面的位置關系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

［走進教材?夯實基礎］回顧知識?激活技能

€＞梳理?必備知識

1.基本事實

基本事實1過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面

如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平

基本事實2

面內

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過

基本事實3

該點的公共直線

基本事實4平行于同一條直線的兩條直線班

2.三個推論

推論1：經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面;

推論2：經過兩條相交直線,有且只有一個平面;

推論3：經過兩條隹直線，有且只有一個平面.

3.空間中直線與直線的位置關系

’相交直線,

共面直線

.平行直線,

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點.

提醒：分別在兩個不同平面內的兩條直線不一定為異面直線，他們關系也可

能平行或相交.

4.空間中直線與平面的位置關系

直線與平面的位置關系有：直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平

行三種情況.

5.空間中平面與平面的位置關系

平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況.

6.定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

［常用結論］

1.異面直線判定的一個定理

與一個平面相交的直線和平面內不經過交點的直線是異面直線，如圖所示.

2.唯一性定理

(1)過直線外一點有且另有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且R有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

◎激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)兩個平面a,4有一個公共點A,就說a,4相交于過A點的任意一條直

線.

()

(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()

(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()

(4)若直線a不平行于平面a,且aQa,則a內的所有直線與a異面.

()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材習題衍生

1.已知a,〃是異面直線，直線c平行于直線。，那么c與名)

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

C［由已知得直線c與Z?可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平

行直線，若。〃c,則a〃江與已知a,匕為異面直線相矛盾.］

2

2.下列命題正確的是（）

A.兩個平面如果有公共點，那么一定相交

B.兩個平面的公共點一定共線

C.兩個平面有3個公共點一定重合

D.過空間任意三點，一定有一個平面

D［如果兩個平面重合，則排除A,B兩項；兩個平面相交，則有一條交線，

交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項；而D項中的三點不論

共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點.］

3.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法錯誤

的是（）

A.A3與CO是異面直線

B.GH與CD相交

C.EF//CD

D.EF與AB異面

D［把展開圖還原成正方體，如圖所示.

還原后點G與。重合，點B與尸重合，由圖可知A、B、C選項正確，EF

與AB相交，故D錯誤，選D.］

4.兩兩平行的三條直線可確定個平面.

1或3［若三條直線在同一平面內，則確定1個平面.若三條直線不共面，

則確定3個平面.］

［細研考慮?突破題型］重難解惑■直擊高考

考點一基本事實的應用，師生共研

［典例1］如圖所示，正方體ABCO-AIBGOI中，E,尸分別是45和AAi的

中點.求證:

3

(1)E,C,D\,產四點共面；

(2)CE,D\F,D4三線共點.

［證明］⑴如圖，連接ERCD\,AiB.

,:E,/分別是AB,44i的中點，

：.EF//BA\.

又：.EF//CD\,

：.E,C,Oi,E四點共面.

3：EF〃CD\,EF<CD\,

；.CE與Di/必相交，設交點為P,

則由PG直線CE,CEU平面ABCD,

得PW平面ABCD

同理Pe平面AODiAi.

又平面ABCDC平面ADD\A\=DA,

.?.PW直線D4,ACE,D\F,D4三線共點.

畬反思領悟共面、共線、共點問題的證明

證明共面先確定一個平面，然后再證其余的線(或

——

的方法點)在這個平面內

1①先由兩點確定一條直線，再證其他各

證明共線

——點都在這條直線上;②直接證明這些點

的方法

1都在同一條特定直線上

證明線共

先證其中兩條直線交于一點，再證其他

點的常用

直線經過該點

方法

［跟進訓練］

4

1.如圖所示，空間四邊形ABC。中，E,F分別是AB,AO的中點，G,“分

別在BC,CO上，且BG：GC=DH：HC=1：2.

(1)求證：E,F,G,"四點共面；

(2)設EG與尸H交于點P,求證：

P,A,。三點共線.

［證明］(1)因為E,F分別為AB,A。的中點，

所以EF//BD.

在△BC。中，*=瞿=三,

CJC/7CZ

所以GH//BD,

所以EF//GH.

所以E,F,G,"四點共面.

(2)因為EGCFH=P,PSEG,EGU平面ABC,

所以PG平面ABC同理PG平面ADC.

所以P為平面ABC與平面AOC的公共點.

又平面ABCC平面AZ)C=AC,

所以PGAC,

所以P,A,C三點共線.

□考點二判斷空間兩直線的位置關系枷生共講

［典例2］(1)若直線/1和/2是異面直線，/1在平面a內，/2在平面口內，/是

平面a與平面4的交線，則下列命題正確的是()3虺2逐

A./與/2都不相交

B./與/”/2都相交

C./至多與/2中的一條相交

D./至少與/2中的一條相交

(2)已知在長方體ABCD-A1B1GD1中，M,N分別是長方形與長方

形BCGB的中心，則下列說法正確的是()

5

A.直線MN與直線4B是異面直線

B.直線MN與直線DDi相交

C.直線MN與直線AC\是異面直線

D.直線MN與直線AC平行

(1)D(2)C[(1)法一：(反證法)由于/與直線/i,/2分別共面，故直線/與

11,/2要么都不相交，要么至少與/1,/2中的一條相交.若/〃妥l//h,則/|〃/2,

這與/”/2是異面直線矛盾.故/至少與/1,/2中的一條相交.

法二：(模型法)如圖①，/1與/2是異面直線，/1與/平行，/2與/相交，故A,

B不正確；如圖②，/|與/2是異面直線，/2都與/相交，故C不正確.

I,

圖①圖②

如圖，因為M,N分別是長方形AiBiCiDi與長方形BCCiBi的中心，所以M,

N分別是4C,的中點，所以直線與直線48平行，所以A錯誤；因

為直線MN經過平面BBiDiD內一點M,且點M不在直線。。i上，所以直線MN

與直線。是異面直線，所以B錯誤；因為直線MN經過平面ABC內一點N,

且點N不在直線AG上，所以直線MN與直線AG是異面直線，所以C正確；

因為直線MN經過平面AiCCi內一點M,且點M不在直線AiC上，所以直線

MN與直線AiC是異面直線，所以D錯誤.]

令反思領悟空間中兩直線位置關系的判定方法

一

空Y異面直線：直接法或反證法

間

兩可構造

行關

系

平

直判

實

事幾何模

本

線定4技

位

理

定型(長

置方巧方體或

關正方體)

系

一二垂直關系:利用線面垂直性質判定

I____________________________________________>

[跟進訓練]

2.如圖，在正方體ABCO-AiBGDi中，M,N分別為棱GOi,GC的中點,

6

有以下四個結論:

①直線AM與CG是相交直線；

②直線AM與是平行直線；

③直線BN與MB\是異面直線；

④直線AM與DDi是異面直線.

其中正確結論的序號為.

③④[直線AM與CG是異面直線，直線AM與8N也是異面直線，所以①②

錯誤.點8,B\,N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN,M3是異

面直線.同理AM,DDi也是異面直線.]

□考點三正方體的切割(截面)問題枷生共研

[典例3](1)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相

等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為()

逮嶇「也口立

/>.?4D?3*?41—?2

(2)在正方體ABCD-AiBCDi中，E是3C的中點，平面a經過直線8。且與

直線GE平行，若正方體的棱長為2,則平面a截正方體所得的多邊形的面積為

(1)A(2)|[(1)如圖所示，在正方體ABCD-AiBGOi中，平面ABQi與棱

AiA,A\B\,AiZJi所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與AiA,A\B\,A\D\

平行，故正方體ABCD-AxB\C\D\的每條棱所在直線與平面ABDi所成的角都相

等.

7

D\H

EB

如圖所示，取棱AB,BB\,BiCi,CiDi,DD\,AO的中點E,F,G,H,

M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面ABiQi平行且面積最大，此裁面

面積為S正六邊影EFGHMN=6X^X坐義旁sin60。=今［.

(2)如圖，過點B作BM//C\E交BiCi于點M,過點M作BD的平行線，交

CiDi于點、N,連接DN,則平面8OM0即為符合條件的平面a,

因為E為8C的中點，可知M,N分別為BiCi,GOi的