過關卷12.1-2全等三角形的性質和判定一、選擇題（每小題3分，共36分）1．如圖，已知：，，，，則（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】連接，可證≌，根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】連接，如圖，在與中，≌，，，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關鍵．2．如圖，已知AB＝DB，BC＝BE，，由這三個條件，就可得出△ABE≌△DBC，依據(jù)的判定方法是（）A．邊邊邊 B．邊角邊C．角邊角 D．角角邊【答案】B【分析】根據(jù)SAS證明三角形全等即可解決問題．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．3．冀教版初中數(shù)學教科書八年級上冊告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：．求作：的平分線．作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N．（2）分別以點M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點C．（3）畫射線，射線即為所求（如圖）．這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用角平分線的作法得出基本依據(jù)．【詳解】解：這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是SSS．由基本作圖方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，則在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，即OC為∠AOB的平分線．故選：A【點睛】此題主要考查了應用設計與作圖，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．4．如圖，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”說明，則還需加上條件（）A．AD＝BC B．∠D＝∠C C．OA＝AB D．BD＝AC【答案】D【分析】根據(jù)“SAS”判定定理即可得出結論．【詳解】解：已具有∠1=∠2，AB=BA，用“SAS”證需添加夾∠1，∠2的邊BD=AC，A.AD＝BC與已知構成邊邊角，不能判斷兩個三角形全等，故本選項錯誤；B.∠D＝∠C與已知構成AAS判定兩個三角形全等，不符合題意，故本選項錯誤；C.OA＝AB能推出三角形OAB為等邊三角形，證缺條件，故本選項錯誤；D.BD＝AC與已知構成SAS證，故本選項正確．故選擇：D．【點睛】本題考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．5．在△ABC和△DEF中，下列給出的條件，能用“SAS”判定這兩個三角形全等的是（）A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠EC．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定條件“SAS”逐項判斷即可．【詳解】A．BC邊和EF邊是對應邊，所以所給條件證明不出．故A不符合題意．B．邊AB與BC都在中，邊DE與EF都在中，所給條件不是對應邊相等，所以證明不出，故B不符合題意．C．AB邊和DE邊是對應邊，所以所給條件證明不出，故C不符合題意．D．相鄰兩對應邊分別相等且所夾的角相等，可以利用SAS證明，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查利用“SAS”判定三角形全等，理解判定條件“SAS”的意義是解答本題的關鍵．6．如圖，點在線段上，若，且，，，則下列角中，大小為的角是A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明得到、，再根據(jù)可得；然后根據(jù)外角的性質可得即可解答．【詳解】解：在和中，，，，，，=，．故答案為．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等知識，弄清題意、理清角之間的關系是解答本題的關鍵．7．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE，若∠A＝50°，則∠BDE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】先由直角三角形的性質得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再證△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性質即可得出答案．【詳解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACD，在△CDE和△CDA中，，∴△CDE≌△CDA（SAS），∴∠CED＝∠A＝50°，又∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．8．如圖，在中，H是高MQ和NR的交點，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先證明，再由全等三角形的性質可得PQ=QH=5，根據(jù)MQ=NQ=9，即可得到答案．【詳解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在和中，，∴（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是推理證明三角形的全等三角形，找到邊與邊的關系解決問題．9．如圖四個三角形中，能構成全等三角形的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)ASA可證2個三角形全等，依此即可求解．【詳解】解：①中未知角的度數(shù)為：180°﹣70°﹣50°＝60°；②中未知角的度數(shù)為180°﹣70°﹣60°＝50°；③中未知角的度數(shù)為180°﹣70°﹣60°＝50°；④中未知角的度數(shù)為180°﹣60°﹣50°＝70°；又三角形中邊長為25所相鄰的角分別為：①70°、50°；②60°、50°；③70°、50°；④60°、50°；根據(jù)ASA可證2個三角形全等是③和①、②和④；故選：C【點睛】本題考查三角形全等，利用ASA定理進行證明去，重點在尋找對應角和對應邊相等；10．兩個三角形的兩條邊及其中一條邊的對角對應相等，下面說法正確的有（）（1）這兩個三角形一定全等；（2）這兩個三角形不一定全等；（3）相等的角為銳角時，這兩個三角形全等；（4）相等的角是鈍角時，這兩個三角形全等．A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【分析】畫出圖形，分別滿足兩邊及一個銳角對應相等，兩邊與一個鈍角對應相等，從而可得結論．【詳解】解：如圖，兩個三角形的兩條邊及其中一條邊的對角對應相等，滿足，但是不能判定三角形的全等．當時，與不全等，只有當相等的角是鈍角時，這兩個三角形全等．當時，此時完全重合的兩個三角形全等，則說法正確的只有（2）（4）．故選：．【點睛】本題考查的是三角形全等的判定，掌握利用圖形理解三角形的判定方法是解題的關鍵．11．如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得，，然后證后求解．【詳解】解：，，于，于，，，又，，．，，．故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質求解，發(fā)現(xiàn)并利用，，是解題的關鍵．12．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證，可得，AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質可求得，即③正確，根據(jù)③可判斷④正確；【詳解】∵BD為∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，∴△(SAS)，故①正確；∵BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正確；∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE是等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，故③正確；作EG⊥BC，垂足為G，如圖所示：∵E是BD上的點，∴EF=EG，在△BEG和△BEF中∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，在△CEG和△AFE中∴△CEG≌△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應邊、對應角相等的性質是解題的關鍵；二、填空題（每小題3分，共18分）13．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則∠1+∠2＝___．【答案】135°【分析】直接利用網(wǎng)格證明△ABC≌△CDE，得出對應角∠1=∠3，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠1=∠3，則∠1+∠2=∠2+∠3=135°．故答案為：135°．

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，正確借助網(wǎng)格分析是解題關鍵．14．如圖，有兩根鋼條、，在中點處以小轉軸連在一起做成工具（卡錯），可測量工件內(nèi)槽的寬．如果測量，那么工件內(nèi)槽的寬______cm．【答案】2【分析】利用SAS證明，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：在△BOD和△AOC中，，∴，∴，故答案為：2．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質的實際應用，正確理解題意證明是解題的關鍵．15．如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進行如下操作以點B為圓心，適當長為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E．連結OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．【答案】28．【分析】由作圖可知BE平分∠ABC，根據(jù)平行線的性質求出∠ABC的度數(shù)，再利用平行線的性質求出∠AEB的大小即可．【詳解】解：由作圖可知：∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠A＋∠ABC=180°，∵∠A＝124°，∴∠ABC=56°，∴∠AEB＝∠ABC=＝28°，故答案為：28．【點睛】本題考查了角平分線的作法和平行線的性質，解題關鍵是明確角平分線的作法和熟練運用平行線的性質進行推理計算．16．如圖，，以點為直角頂點在第一象限作等腰直角，則點的坐標為_________【答案】【分析】過點C作CD⊥y軸于點D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通過角的計算即可得出∠ABO＝∠BCD，再結合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS證出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進而可得出點C的坐標．【詳解】解：過點C作CD⊥y軸于點D，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴點C的坐標為，故答案為：．【點睛】本題結合等腰直角三角形和坐標點綜合考查，關鍵在于輔助線的作法，過C點作垂直于x軸的垂線還是垂直于y軸的垂線是解題關鍵．17．如圖，的面積是10，垂直的平分線于點，則的面積是__________．【答案】5【分析】延長AP交BC于E，通過垂直的平分線于點證明，從而可得，，即可求出的面積．【詳解】延長AP交BC于E∵垂直的平分線于點∴，在△ABP和△EBP中∴∴，∴△ACP和△PCE等底同高∴∴故答案為：5．【點睛】本題考查了三角形的面積問題，掌握角平分線的性質、全等三角形的性質以及判定定理、三角形的面積公式是解題的關鍵．18．觀察下列結論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝108°；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結論，你的結論是__．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法，可以得到，，再根據(jù)是的外角，從而求得；（2）同（1）證明，，再根據(jù)是的外角，從而求得；（3）同（1）證明，，再根據(jù)是的外角，從而求得；通過觀察規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)A1N=AnM并且．【詳解】解∵（1）如圖①，在正三角形中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，在△ABN和△ACM中，，∴△ABN≌△ACM（SAS），∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．則AN＝CM，；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，同理：△ABN≌△ADM（SAS），∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，∴∠NOD＝90°則AN＝DM，；（3）同理：如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也有類似的結論是A1N＝AnM，∠NOAn＝．故答案為：A1N＝AnM，∠NOAn＝．【點睛】此題考查三角形全等的證明和外角的性質，通過觀察證明所給例子找出規(guī)律是解決本題的關鍵．三、解答題（19題6分，其余每題8分，共46分）19．如圖所示，已知，，AF=CE，試說明：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠A=∠C，再利用線段和差得到AE=CF，利用SAS證明結論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，∴AE=CF，又∵AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握判定方法，利用平行線的性質得到∠A=∠C．20．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分線AD交BC于點D，過點B作BE⊥AD于E．（1）說明△ACD≌△BCF的理由；（2）BE與AD的長度關系是，請說明理由．【答案】（1）理由見解析；（2）理由見解析．【分析】（1）兩三角形已經(jīng)具備一邊一角的條件，由已知可再找一角的條件，利用ASA來說明理由；（2）結合（1）的結論可得到AD=BF，只需判斷BF與BE之間的數(shù)量關系即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，∵∠ACB=90°，∴∠BCF=90°．

在和中，

（2）BE與AD之間的數(shù)量關系是理由如下：∵AD平分∠BAC，在和中，

∴AD=BF.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、線段的中點的性質等知識點，熟知三角形全等的判定與性質是解題的基礎；作為連續(xù)性問題，上一問題的結論對后面問題的提示和幫助作用不可忽視．21．如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長．【答案】（1）見詳解；（2）10【分析】（1）由“AAS”可證△DAF≌△BAF；（2）由全等三角形的性質得AD=AB＝8，BF=DF，結合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解．【詳解】（1）證明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABF，∵AF平分∠BAE，∴∠DAF＝∠BAF，又∵AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD=AB＝8，BF=DF，∵AE＝5，∴DE=8-5=3，∴EF+DF=EF+BF=BE=7，∴△EFD的周長=EF+DF+DE=7+3=10．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握“AAS”證三角形全等，是解題的關鍵．22．數(shù)學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據(jù)以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據(jù)是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據(jù))(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由【答案】（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．【分析】（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結論成立；（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補全條件即可；（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結論成立．【詳解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；故答案為：等腰三角形三線合一定理；（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案為：CM=CN，邊邊邊；（3）小剛的作法正確，證明如下：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°，∵OM=ON，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；小剛的作法正確．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形的性質進行證明．23．如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，設點P的運動時間為t秒：（1）PC＝cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當t為何值時，△ABP≌△DCP？（3）當點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）存在；v的值為2.4或2【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理解答；（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質解答.【詳解】解：（1）∵點P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC?BP=(10?2t)cm，故答案為：(10﹣2t)（2）當t=2.5時，△ABP≌△DCP，∵當t=2.5時，BP=CP=5，在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP；（3）∵∠B=∠C=90°，∴當AB=PC,BP=CQ時,△ABP≌△PCQ，∴10?2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，當AB=QC,BP=CP時,△ABP≌△QCP，此時，點P為BC的中點，點Q與點D重合，∴2t=5,vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，綜上所述，當v=1或v=