5.1.1平均變化率第5章§5.1導數的概念1.了解平均變化率的實際背景.2.理解平均變化率的含義.3.會求函數在某一點附近的平均變化率，并能用平均變化率解釋一些實際問題.學習目標導語恩格斯說：“只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，而且也表明過程：運動.”大家知道，世界充滿著變化，有些變化幾乎不易被人們察覺，而有些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼！比如同學們身高、體重的變化，學習成績的變化，在短時間內不易被發現，而火箭的發射、F1賽道上賽車的速度卻會讓我們驚呼.平均變化率的概念一問題如圖是某市近34天最高氣溫的統計圖，用怎樣的數學模型刻畫氣溫變化的快慢程度？2.平均變化率是曲線陡峭程度的“

”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“

”.注意點：(1)函數在區間[x1，x2]上有意義.(3)實質：函數值的改變量與自變量的改變量之比.(4)作用：刻畫函數值在區間[x1，x2]上變化的快慢.數量化視覺化（1）已知函數f(x)＝x2＋1，則當x由2變到2.1時，函數值的改變量為()A.0.40 B.0.41

C.0.43 D.0.44例1

答案B解析f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.

如圖，函數y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于A.1 B.－1C.2 D.－2√練習1

平均變化率概念的理解(1)要注意Δx，Δy的值可正、可負，但Δx≠0，Δy可為零，若函數f(x)為常數函數，則Δy＝0.(3)平均變化率一定是相對某一區間而言的，一般地，區間不同，平均變化率也不同.實際問題中的平均變化率二【例2】水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積

（單位：

）試計算第一個10s內V的平均變化率.即第一個10s內容器甲中水的體積的平均變化率為－0.25cm3/s(負號表示容器甲中的水在減少)．解：練習2

蜥蜴的體溫與陽光的照射有關，其關系為T＝

＋15，其中T為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時間(單位：min)，則t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率為______℃/min.－1.6故從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率為－1.6℃/min.平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內的平均速度、加速度、膨脹率、經濟效益等.分清自變量和因變量是解決此類問題的關鍵.函數中的平均變化率三例3

計算函數f(x)＝x2從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為：(1)2；

(2)1；

(3)0.1；

(4)0.01.因為f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，(1)當Δx＝2時，平均變化率為Δx＋2＝4，即函數f(x)＝x2在區間[1,3]上的平均變化率為4.(2)當Δx＝1時，平均變化率為Δx＋2＝3，即函數f(x)＝x2在區間[1,2]上的平均變化率為3.(3)當Δx＝0.1時，平均變化率為Δx＋2＝2.1，即函數f(x)＝x2在區間[1,1.1]上的平均變化率為2.1.(4)當Δx＝0.01時，平均變化率為Δx＋2＝2.01，即函數f(x)＝x2在區間[1,1.01]上的平均變化率為2.01.計算函數f(x)＝x2從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為：

①2；②1；③0.1；④0.01.并思考：當Δx越來越小時，函數f(x)在區間[1,1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？觀察上式可知，當Δx越來越小時，函數f(x)在區間[1,1＋Δx]上的平均變化率逐漸變小并接近于2.

（2）已知函數f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分別計算在區間[-3，-1]，[0，5]上函數f（x）及g（x）的平均變化率.解：函數f（x）在區間[-3，-1]上的平均變化率為

同理可得,函數f（x）在區間[0，5]上的平均變化率為

2；函數g（x）在區間[-3，-1]上的平均變化率為-2；函數g（x）在區間[0，5]上的平均變化率為-2．［問題］從上述習題的求解中，你能發現一次函數y=kx+b在區間[p,q]上的平均變化率有什么規律嗎？

［結論］：一次函數y=kx+b在區間[p,q]上的平均變化率為直線的斜率k．

練習3若函數f(x)=3x+1,試求f(x)在區間[a,b]上的平均變化率.

答案：3求函數平均變化率的步驟(1)求自變量的改變量x