第二章

隨機變量及其分布

南極數學

在必修3中,我們學習了概率有關知識.知道概率是描述在一次隨機試驗中的某個隨機事件發生可能性大小的度量.

隨機試驗是指滿足下列三個條件的試驗:①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。章頭圖(射擊運動情景)：在射擊運動中，射擊選手的每次射擊成績是一個非常典型的隨機事件.(1)如何刻畫每個選手射擊的技術水平與特點？(2)如何比較兩個選手的射擊情況？(3)如何選擇優秀運動員代表國家參加奧運會才能使得獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的知識.2.1.1離散型隨機變量高二數學選修2-31.了解隨機變量、離散型隨機變量的意義，并能說明隨機變量取的值所表示的隨機試驗的結果.（重點）2．通過本課的學習，能舉出一些隨機變量的例子，并能識別是離散型隨機變量，還是非離散型隨機變量.（難點）復習引入：1、什么是隨機事件？什么是基本事件？

在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。試驗的每一個可能的結果稱為基本事件。2、什么是隨機試驗？凡是對現象或為此而進行的實驗，都稱之為試驗。如果試驗具有下述特點：試驗可以在相同條件下重復進行；每次試驗的所有可能結果都是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。它被稱為一個隨機試驗。簡稱試驗。判斷下面問題是否為隨機試驗(1)T11次特快車到達福州站是否正點.(2)1976年唐山地震.

下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由．(1)上海國際機場候機室中2016年1月1日的旅客數量；(2)2016年某天福州至北京的D36次列車到北京站的時間；(3)2015年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．練習是是是不是出現的點數可以用數字1,2,3,4,5,6表示.擲一枚骰子時,出現的點數如何表示?那么擲一枚硬幣的結果是否也可以用數字來表示呢?01以1和0表示正面向上和反面向上某人射擊一次，可能出現命中0環，命中1環，…，命中10環等結果，可能出現的結果可能由0,

1，……10這11個數表示.問題1(1)擲一枚骰子，出現的點數用數字1，2，3，4，5，6來表示.

(2)擲一枚硬幣，可能出現的結果有

種：正面向上、反面向上正面向上反面向上10但我們可以用數字1和0分別表示正面向上和反面向上.兩

還可以用其他的數來表示這兩個試驗的結果嗎？12問題2一位籃球運動員3次投罰球的得分結果可以用數字表示嗎？生產一件產品合格與否，其結果也可以用數字表示嗎？

任何隨機試驗的所有結果都可以用數字表示嗎？說明：(1)任何一個隨機試驗的結果我們可以進行數量化；(2)同一個隨機試驗的結果,可以賦不同的數值.

在擲骰子、擲硬幣和罰球的隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示.定義1：這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量(randomvariable).

在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化.符號表示：常用希臘字母ξ[ksi:]，η[`eit?]；大寫英文字母X，Y等表示。首頁上頁下頁例1判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由。（1）昨天我校辦公室接到的電話的個數.（2）標準大氣壓下，水沸騰的溫度.（3）在一次比賽中，設一二三等獎，你的作品獲得的獎次.（4）體積64立方米的正方體的棱長.（5）拋擲兩次骰子,兩次結果的和.（6）袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數.解:是隨機變量的有(1)(3)(5)(6)問題3在擲骰子試驗中，如果我們僅關心擲出的點數是否為偶數，應該如何定義隨機變量呢？Y=0，擲出奇數點1，擲出偶數點說明：在實際應用中應該選擇有實際意義、盡量簡單的隨機變量來表示隨機試驗的結果.

與擲出點數X(1,2,3,4,5,6)比較，隨機變量Y(0,1)的值域更小，構造更簡單.隨機變量和函數有類似的地方嗎？

隨機變量和函數都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，而函數把實數映為實數.

實際上隨機變量的概念也可以看作是函數概念的推廣.

試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域.

我們把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域.函數隨機變量自變量實數隨機試驗的結果因變量實數實數因變量的范圍值域值域相同點都是映射函數與隨機變量的異同點某次產品檢驗，在可能含有10件次品的100件產品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現的結果可以由0，1，2，3，4這5個數表示次品件數X將隨著抽取結果的變化而變化，是一個隨機變量.其值域是

.{0，1，2，3，4}問題4

能夠通過隨機變量X來研究隨機事件嗎？例如，{X=0}表示“抽出0件次品”；{X=1}表示“抽出1件次品”；{X=4}表示“抽出4件次品”等.你能說出{X<3}表示什么事件呢？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？“抽出0或1或2件次品”{X=3或X=4}問題5

從值域的角度來看，前面所涉及的隨機變量取值有什么特點？特點：隨機變量所取的值可以一一列出.定義2：所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量(discreterandomvariable).說明：本章研究的離散型隨機變量只取有限個值.你能舉出一些離散型隨機變量的例子嗎？離散型隨機變量的一些實例：(3)1小時內到達某公共汽車站的人數；(1)在本班中任意抽取5名同學中戴眼鏡的人數；(2)某人射擊一次可能命中的環數.它的所有可能取值為0，1，2，…，10(共11個)它的所有可能取值為0，1，2，3，4，5(共6個)它的所有可能取值為0，1，2，….問題6

電燈泡的壽命X是離散型隨機變量嗎？X的可能取值是任何一個非負實數，而所有非負實數不能一一列出，所以X不是離散型隨機變量.而稱為連續型隨機變量.(1)如果規定壽命在1500小時以上的燈泡為一等品；壽命在1000到1500之間的為二等品；壽命在1000小時之下的為不合格品。如果我們關心燈泡是否為合格品，那如何定義隨機變量？X=0，燈泡為不合格品1，燈泡為合格品(2)

如果我們關心燈泡是否為一等品或二等品，應該如何定義隨機變量？(3)

如果我們關心燈泡的使用壽命，又應該如何定義隨機變量？Y=1，燈泡為一等品2，燈泡為二等品3，燈泡為不合格品定義隨機變量Z為燈泡的使用壽命.在上面的問題中，所定義隨機變量的規律是什么？

所定義的隨機變量值應該有實際意義，所定義的隨機變量取值應該和所感興趣的結果個數形成一對一的關系.離散型隨機變量可能取的值為有限個或者說能將它的可取值按一定次序一一列出，下列變量中是離散型隨機變量的________．(1)下期《星光大道》節目中冠軍的人數；例2(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差；(3)在泉州至福州的高速鐵路線上，每隔50m有一電線鐵塔，從泉州至福州的高速鐵路線上將電線鐵塔進行編號，其中某一電線鐵塔的編號；(4)福州市閩江水位監測站所測水位在(0,29]這一范圍內變化，該水位站所測水位．（1）（3）課堂練習1：見課本P45練習NO：1答：(1)能用離散型隨機變量表示，可能的取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.(2)能用離散型隨機變量表示，可能的取值為0，1，2，3，4，5.(3)不能用離散型隨機變量表示.1.袋中有大小相同的5個小球，分別標有1、2、3、4、5五個號碼，現在在有放回的條件下取出兩個小球，設兩個小球號碼之和為，則所有可能值的個數是____

個；{

}表示

．“第一次抽1號、第二次抽3號，或者第一次抽3號、第二次抽1號，或者第一次、第二次都抽2號．92.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為ξ，試問:(1){ξ>4}表示的試驗結果是什么?(2)P(ξ>4)=?123453、寫出下列各隨機變量可能的取值.（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數

．（2）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球數．（3）拋擲兩個骰子，所得點數之和．（4）接連不斷地射擊，首次命中目標需要的射擊次數．（＝1、2、3、···、n、···）（＝2、3、4、···、12）（＝1、2、3、···、10）（＝0、1、2、3）4、寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果

ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3個球的編號為1，2，3；ξ=4，表示取出的3個球的編號為1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3,5或2,4,5或3，4，5

一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5現從該袋內隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數ξ；

解5、(1)某座大橋一天經過的中華轎車的輛數為；(2)某網站中歌曲《愛我中華》一天內被點擊的次數為；(3)一天內的溫度為；(4)射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分。上述問題中的是離散型隨機變量的是（）

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)B6.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是()(A)兩次出現的點數之和(B)兩次擲出的最大點數(C)第一次減去第二次的點數差(D)拋擲的次數D7.下列隨機試驗的結果是否能用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結果。（1）拋擲兩枚骰子，所得點數之和；【引申】拋擲兩枚骰子，所得點數之積；（容易多）（2）某足球隊在5次點球中射進的球數；（容易漏）

【歸納總結】要做到“不漏不多”12345