重慶南開中學高2026級高一（上）數學測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，則A∪B=（）A.{2，3} B.{0，1，2，3} C.{1，2} D.{1，2，3}【答案】B【解析】分析】先求出集合B，再求A∪B.【詳解】因為，所以.故選：B2.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意要選的是的真子集.【詳解】由得，因為選項中只有，故只有C選項中的條件是使不等式成立的一個充分不必要條件．故選：C.3.已知函數定義域為，則函數定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設可得，求解集即知函數定義域.【詳解】由題設，，解得，∴的定義域為.故選：A.4.若，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據指數函數單調性分析判斷.【詳解】因為在上單調遞減，且，則，又因為在上單調遞增，且，則，所以，即.故選：D.5.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數奇偶性排除D，再根據時，，故排除AB即可得答案.【詳解】解：函數的定義域為，，所以函數奇函數，故排除D，由于，故當時，，故排除AB，故選：C6.若不等式對任意恒成立，則實數取值范圍是

（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據已知條件及分離參數將不等式恒成立轉為為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由不等式對任意恒成立轉化為，其中,即可.，當且僅當，即時，等號成立，即，所以實數的取值范圍是

.故選：A.7.已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.故選：B.8.設函數在區間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】先將函數化簡變形得，然后構造函數，可判斷為奇函數，再利用奇函數的性質結合可得，從而可求得結果.【詳解】由題意知，（），設，則，因為，定義域為，關于原點對稱，所以為奇函數，在區間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列函數中，是指數函數的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據指數函數的定義判斷各項是否為指數函數即可.【詳解】由指數函數形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對于B，且，故符合.故選：BC10.（多選）若函數在上滿足：對任意的，，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”．下列函數能被稱為“理想函數”的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先通過分析，得到若在上單調遞增，則函數為“理想函數”，然后依次判斷四個選項能否滿足題意.【詳解】不妨設，則由題意可得，即，由單調性定義可知，函數在上單調遞增，即若在上單調遞增，則稱函數為“理想函數”．A選項中，該函數在上單調遞增，符合“理想函數”的定義；B選項中，該函數在上單調遞增，符合“理想函數”的定義；C選項中，該函數在上單調遞減，不符合“理想函數”的定義；D選項中．該函數在上單調遞增，符合“理想函數”的定義．故選：ABD．11.下列命題中正確的是（）A.函數的值域為 B.函數的值域為C.函數的值域為 D.函數的值域為【答案】BCD【解析】【分析】根據指數函數單調性和值域結合二次函數或不等式性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，且在上單調遞減，可得，所以函數的值域為，故A錯誤；對于選項B：令，解得，可知函數的定義域為，因為在上單調遞增，且，可得，則，所以函數的值域為，故B正確；對于選項C：令，則，可得，因為開口向上，對稱軸為，可得在上單調遞增，且，所以的值域為，即函數的值域為，故C正確；對于選項D：由題意可得的定義域為，因為，即，可得，所以函數的值域為，故D正確；故選：BCD.12.定義在R上的偶函數滿足，當時，，設函數，則（）A.函數圖象關于直線對稱B.函數的周期為6C.D.和的圖象所有交點橫坐標之和等于8【答案】AD【解析】【分析】由題設得即可判斷A選項；由對稱性結合奇偶性得即可判斷B選項；利用周期性及解析式求出函數值即可判斷C選項；先求得函數圖象關于直線對稱，畫出和的圖象得到有四個交點，且關于直線對稱，即可判斷D選項.【詳解】由定義域為R，可得，，即，則函數圖象關于直線對稱，A正確；由以及為偶函數可得，則，即函數的周期為4，B錯誤；由周期性知，，又，即，則，C錯誤；函數的定義域為，，可得函數圖象關于直線對稱，分別畫出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有四個交點，且關于直線對稱，則所有交點橫坐標之和等于，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題4個小題，每小題5分，共20分．各題答案必須填寫在答題卡上相應位置（只填結果，不寫過程）．13.已知函數（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為______.【答案】【解析】【分析】根據得出指數型函數恒過定點.【詳解】令，得，則.所以函數（且）的圖象恒過定點.故答案為：.14.函數的單調遞增區間是__________【答案】【解析】【分析】根據二次函數與指數函數的單調性，結合復合函數的單調的判定方法，即可求解.【詳解】設，即，可得函數的圖象表示開口向下，對稱軸為的拋物線，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又由函數在定義域上為單調遞減函數，結合復合函數的單調性的判定方法，可得函數單調遞增區間為.故答案為：.15.若關于x的方程在上有兩個不等實根，則實數a的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】設，得到，轉化為在上有兩個不等的實根，設，列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程等價于，設，可得，即方程等價于在上有兩個不等的實根，設，則滿足，解得，即實數取值范圍為.故答案為：.16.函數是最小正周期為4的偶函數，且在時，，若存在滿足，且，則最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據題意，先求出函數一個周期的值域，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點，且，再利用函數的周期性求解.【詳解】解：函數是最小正周期為4的偶函數，且在時，函數的值域為，對任意，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點，且，，的最小值估計值為，故的最小值取507，相應的最小值為，則的最小值為1518.5.故答案為：四、解答題：本大題6個小題，共70分．各題解答必須答在答題卡上（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）．17.計算下列各式的值：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數的運算法則，直接計算即可；（2）利用對數的運算法則，直接計算即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】18.己知冪函數在定義域上不單調.（1）求m的值．（2）若，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由冪函數的定義可得或，結合函數的單調性排除增根；（2）先判斷為奇函數，利用奇函數的性質化簡不等式，再結合函數的單調性通過討論化簡不等式求其解.【小問1詳解】由題意，解得或，當時，，函數在上單調遞增，不合題意；當時，，函數的定義域為，函數在上單調遞減，在上單調遞減，但，所以函數在定義域上不單調，符合題意，所以.【小問2詳解】因為函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數，因為，可得，即，而在上遞減且恒負，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．19.已知，．（1）當，時，求函數的值域；（2）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），則，然后根據二次函數的性質可求出函數的值域，（2）將問題轉化為，令，則再次轉化為在上恒成立，然后利用基本不等式可求得結果.【小問1詳解】當時，，令，則，因為，所以，所以，即，所以函數的值域為，【小問2詳解】由，得，所以，由，得，所以，令（），則在上恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即實數的取值范圍為20.為宜傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張面積為的矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形），為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，設．（1）將四個宣傳欄的總面積y表示為x的表達式，并寫出x的范圍；（2）為充分利用海報紙空間，應如何選擇海報紙的尺寸（和分別為多少時），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時宣傳欄的最大面積．【答案】（1）（2）AD=120cm，，【解析】【分析】（1）根據題意列出總面積y表示為x的表達式即可.（2）根據（1）利用基本不等式求可使用宣傳欄總面積最大時和的值.【小問1詳解】根據題意，矩形海報紙面積為，所以，又因為海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，所以四個宣傳欄的總面積，其中所以.即.【小問2詳解】由（1）知，則，當且僅當時取等號，則，當且僅當時取等號，即,時，可使用宣傳欄總面積最大為.21.已知函數為奇函數.（1）求實數a的值；（2）若存在m∈[1，1]，使得不等式成立，求x的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，解出a的值，再驗證函數的奇偶性即可求解.（2）構造函數，根據函數的單調性轉化為m∈[1，1]，使得，討論x的取值范圍即可求解.【小問1詳解】函數的定義域為，由題意可得，即，解得，所以，，即為奇函數，所以.【小問2詳解】由（1）可知，存在m∈[1，1]，使得不等式成立，存在m∈[1，1]，使得不等式成立，設，定義域為，奇函數，，而，所以為奇函數，存在m∈[1，1]，成立，即存在m∈[1，1]，成立，又因為在上單調遞增，所以在定義域上單調遞增，所以，存在m∈[1，1]，使得，看成關于的一次函數，當時，，解得；當時，不等式成立；當時，則，解得，綜上所述，x的取值范圍為22.已知函數．（1）若存在，使不等式成立，求實數a的取值范圍；（2）設，正實數b，c滿足，且的取值范圍為A．若函數在上的最大值不大于最小值的兩倍，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分