素養提升微專題(一)客觀題速解技巧規律方法客觀題在數學試卷中所占比重較大,若能根據題目特點,運用恰當的方法速解,則既能提高正確率,還能節省時間.常用的速解技巧有特例(特值)法、圖解法、排除法、估算法等.1.特例(特值)法特例(特值)法是在題設普遍條件都成立的情況下,用特殊值(取得越簡單越好)進行探求,從而清晰、快捷地得到正確的答案,即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律,從而“小題小做”或“小題巧做”.當題目已知條件中含有某些不確定的量時,可將題目中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值(如特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊圖形、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理,從而得出探求的結論.這樣可簡化推理、論證的過程.2.圖解法對于一些含有幾何背景的問題,往往可以借助圖形的直觀性,迅速作出判斷,解決問題,得到正確的結果.幾何圖形中蘊含一定的數量關系,而數量關系常常又可通過圖形直觀展現,合理應用數與形之間的相互轉化,可將問題化難為易,化抽象為具體.3.排除法選擇題的解題本質就是去偽存真,舍棄不符合題目要求的選項,找到符合題意的正確結論.排除法(又叫篩選法)就是通過分析、推理、計算、判斷各選項提供的信息或通過特例排除不符合要求的選項,從而得到正確結論的一種方法.4.估算法選擇題提供了正確的選項,解答又無需過程.因此對這類題目,不必進行準確的計算,只需對其數值特點和取值界限作出適當的估計,便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運算量,但是加深了思維的層次.考查角度角度一

特例(特值)法

BA解析

由于題中直線PQ的條件是過點E,所以該直線是一條“動”直線,所以最后的結果必然是一個定值.故可利用特殊直線確定所求值.圖1圖2角度二

圖解法

A解析

設f(x1)=m,畫出函數f(x)的圖象與直線y=m,如圖所示.則x1,x2,x3,x4是函數y=f(x)的圖象與直線y=m交點的橫坐標.由圖可知,-log2x1=log2x2,∴log2(x1x2)=0,∴x1x2=1,x3+x4=12,2<x3<4,8<x4<10,[例2-2]已知直線l1:4x-3y+12=0和直線l2:x=-1,則拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2距離之和的最小值是

.

解析

畫出拋物線y2=4x與直線l1,l2,如圖所示.由題意可知,直線l2是拋物線的準線.過點P作直線l2的垂線,垂足為點A,過點P作直線l1的垂線,垂足為點B,設拋物線y2=4x的焦點為F,根據拋物線的定義,知|PA|=|PF|,所以動點P到直線l1和直線l2距離之和|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,過點F作直線l1的垂線,交拋物線于點P',則當點P位于圖中的點P'處時,|PF|+|PB|取得最小值,此時最小值為焦點F到直線l1的距離,由點到直線的距離公式,得所求最小值為角度三

排除法

B所以g(x)為R上的奇函數,故f(x)的圖象關于點(0,1)對稱,排除C.令h(x)=2x+sin

x,當x>0時,h'(x)=2+cos

x>0,則h(x)>h(0)=0,所以當x>0時,f(x)>1,故排除D.[例3-2]已知函數f(x)=(a-3)x-ax3在區間[-1,1]上的最小值為-3,則實數a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1] B.[12,+∞)C.[-1,12] D.D角度四

估算法

A.165cm B.175cmC.185cm D.190cmB對點演練1.已知在等差數列{an}中,首項a1>0,公差d>0,前n項和為Sn,等比數列{bn}滿足b1=a1,b4=a4,前n項和為Tn,則(

)A.S4>T4 B.S4<T4C.S4=T4

D.S4≤T4A2.下列命題為真命題的是(

)A3.已知過球面上A,B,C三點的截面和球心距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球面面積是(

)D(方法二)設球的半徑為R,如圖所示,2R=OA+OB>AB=2,故R>1,所以S球=4πR2>4π,只有選項D滿足.解析

所求的問題是個定值問題,“在△ABC中”和“在特殊△ABC中”所求的值相等,所以將所給條件“在△ABC中”特殊化為“在等邊△ABC中”.如圖,以D為原點,BC所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.答案

(1,2)

由圖可知,f(x)在區間(0,4)內