§13.5.3角平分線探究角平分線的性質

(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900∵OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E求證:PD=PE(3)驗證猜想教師點撥

符號語言題設：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB結論：∴PD=PEPAOBCED12(4)角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。教師點撥

判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

()角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。×如圖，在Rt△ABC中，做完本題后，你對角平分線,又增加了什么認識?

思考角平分線的性質，為我們證明兩條線段相等又提供了新的方法與途徑。ABCBD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC相等嗎？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分線

且DE⊥BA，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO與Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即點P在∠AOB的平分線上角平分線上的點到角兩邊的距離相等。逆命題到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

幾何語言∵PD⊥OA，PE⊥OB

且PD=PE∴

OC平分

∠AOBACBEDPMHK例題：如圖，在△ABC的頂點B的外角的平分線BD與頂點C的外角的平分線CE相交于點P．求證：點Ｐ到三邊AB、BC、AC的距離相等．證明：過點P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分別為M、K、H。∵BD平分∠CBM

PM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即點P到三邊AB、BC、AC的距離相等

若求證點P在∠BAC的平分線上，又該如何證明呢？1．如圖，在直線l上找出一點P，使得點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于P就是所求的點練習1練習2：

如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABOP1、如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P也在∠BAC的平分線上.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,PD⊥AB，PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴點P在∠BAC的平分線上.試一試通過本題的證明，你能得到一個關于三角形角平分線的什么結論？三角形的三條角平分線交于一點，并且交點到三角形三邊的距離相等。想一想利用結論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進當地旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?P拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址