2023屆哈爾濱市三中高三數學下學期1月考試卷

2023.1

考試說明：（1）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.

考試時間為120分鐘；

（2）第I卷，第II卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（共60分）

（一）單項選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.如圖，兩個區域分別對應集合B,其中/={-2,-1,0,1,2}，8={xeN|x<4}.

則陰影部分表示的集合為

A.{0,1,2}B,{0,1}

C.{-2,-1,2}D.{-2,-11

2.已知點,2,2及）在拋物線C：/=2/次上，則拋物線C的準線方程為

A.x=1B.x=-1C.j=-1D.y=1

3.m=4是直線(加一2)x+(w+l)y+3=0與直線(2〃[+2)x-〃9+2=0垂直的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

/\

4.已知角a終邊在第四象限，且2sin2a+l=cos2a,則tana一一=

<4)

A.—B.—C.3D.2

32

高三數學第1貝共7頁

1

5.2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人t船返問艙在東風著陸場成功著陸，

神舟十三號載人E行任務取得圓滿成功，中國航天又站在了?個新的起點.已知火箭

的最大速度v（單位：km/s）與燃料質量M（單位：kg）、火窗質最機（單位：kg）

（M、

的函數關系為v=21ni+—,當火箭的質量為3000kg,最大速度為9km/s,若

Im）

保持火箭質量不變，為使最大速度達到10km/s,則需要再加注的燃料質量約為

（參考數據：In90?4.5,e5?148）

A.2670004gB.174000^C.147000熾D.4410004g

6.已知橢圓C:￡+W=l（“>b>0）的左、右焦點分別為耳，F2,上、下頂點分別為彳,

B,若四邊形鳥為正方形，則橢圓C的離心率為

A.1B.且C.41D.立

222

7.數列｛q｝滿足%=2〃+1,且前〃項和為S"，數列｛幻滿足“=鼠二應一2,則

n

%-可+|由一周+…+"一bu\為

A.18B.28C.32D.36

8.設f(x)=|sinx|,a=f(-^),b=f(^),c=f(7r-\n^,則下列正確的是

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

（二）多項選擇題（共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分）

9.卜列選項中說法正確的是

A.任意一條直線都市?斜率和傾斜角

B.若函數的定義域為[1,2],則函數/（x）的定義域是[2,4]

高一數學第2頁共7頁

2

C.點(0,2)關于直線y=x+l的對稱點為(1,1)

D.函數F=的最小值為2&

+4

10.正方體的棱長為2,E,F,G分別為8CCC，網的中點,則

A.直線4G與平面力￡廠平行

B.宜線。2與直線""垂直

C.異面直線4G與￡尸所成角的余弦值為巫

10

9

D.平面4EF截止方體所得的截面面積為；

2

11.已知拋物線。:/=2萬(2>0)的焦點尸到準線的距離為2,過尸的直線與拋物線交

于48兩點，M為線段,48的中點，則下列結論正確的是

A.拋物線C的標準方程為/=4)，

B.當3萬=麗，則直線的傾斜角為120

C.若同卜16,則點M到)，軸的距離為8

D.4所+|明)9

12.已知函數f(x)=e”,g(x)=lnx+g分別與直線交于點48,則5列說法正確的

A.卜切的最小值為:ln2+l

B.三"€/?,使得曲線y=/(x)在點/處的切線與曲線了=g(x)在點8處的切線平行

C.函數y=/(x)-g(x)的最小值小于2

D.若2(x-e)/(x)>3-2g(x),則x>e

高二數學第3頁共7貝

3

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應的位置上）

/,,2

13.若雙仙線”與雙曲線C：5一春_=1有相同的漸近線，且過點（4,6）,則雙曲線M的

標準方程是.

14.已知正項等比數列｛%｝的前”項和為邑，若q=l,且4q+7%=2%-a4,則

項=.（請用具體數字作答）

15.點。在圓C：（x-4『+（y-4『=9上，43,0）,5（0,1）,則NP8/1最小時，

阿=.

16.A48C中，AB=AC=3,BC=2,沿8。將A48C折起到△尸8。位置，P點、

不在A48C面內，當三棱錐P-/I8C的體積最大時，三棱錐尸一/8C的外接球半

徑是：當H=時，三棱錐P-48。的外接球表面積是.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演黨步驟）

17.己知函數/（x）=Gsin

（1）求函數/（x）的最小正周期及對稱軸方程;

⑵求/（X）在帖

上的值域.

高：數學第4頁共7頁

4

18.在平面直角坐標系X0X中,已知圓C經過點坐1)且圓心在射線y=3x(x>0)上,

被y軸截得弦長為26，點"(3,0).

(1)求圓C的方程：

(2)求過點M且與圓C相切的直線方程.

19.在①2a“-$“=1：②q=2“-2s“=1：③”“>0嗎=-a.%=2"：，這三個條

件中任選一個，補充在下面問題中，并解答所給問題.已知數列的前n項和為5“，

U.滿足.

(1)求％與，；

(2)記"=(2〃-1)4，求數列｛"｝的前"項7；.

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5

20.在四棱錐底面48。。為梯形，AB//CD,AB=2AD=2CD=2BC=2,

PC1底面ABCD,E為極PD上一點.

(1)求證：平而尸8c，平面/EC；

⑵若出當

PD=2,求尸8與平面力￡。所成角的正弦值.

21.己知橢圓C:￡+￡=l(a>/>>0)，經過點P(0,l)，離心率為巫.

a~b"2

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)點例，N在橢圓C上，若宜線PM,PN的斜率分別為8,內,且滿足勺4='

求APMN面積的最大值.

高三數學第6頁共7頁

6

22.已知函數J(x)=c'+cosx(xwR),其中c為自然對數的底，e=2.71828….

(1)求證：J(x)>2cosx+x；

(2)是否存在實數Q,使得〃工)201+(+2恒成立？若存在，求。的取值集合,

若不存在請說明理由.

高：數學第7頁共7頁

7

哈三中2022—2023學年度上學期

高三學年1月月考數老答案

123456789101112

DBAcBDAcBCACDADABD

13.---匕=114.31

412

■,?V65158

15.416.------,-----

415

/(xsin2r++cos(2x_：Jt))

17.⑴解:>T(iH('

令2'+'=〃乃+工,AcZn對稱軸方程：x=^+—,AGZ.

6262

最小正周期：7C

n7(2，+金惇卜小上

(2)2.Y+一G—7T

666詞

⑴(x-l)2+(y-3/=4(2)x=3,5x+l2y_15=0

19.(1)選①，由①得，S,=2?“-l,”=1時，q=2q-l,得4=1；

”>2時,5?-S.,=2a?-2??>>得4=2。“廠故｛%｝為苜項是I,公比是2的等比數列，4=2"'：

==.選②，由②得，gS.u-ZSLa.i-S",得""“-5”=1,"=1時，％-q=l：

1—2

〃>2時，=0,整理得。1=為“，

二4“=2%,故｛%｝為等比數列，首項為q=l,公比g=2,故a?=2~,S?=—=2"-I.

1—2

選③,。">0嗎=1，。3-。0“=2”：,則((“-2q)(q,T+a“)=0.-.-a,>0,

則％+。“>0,得％=血，故｛叫為等比數列，首項為q=l,公比g=2,故q=2"\

8

=2"-l.

-1-2

(2)根據題意，"=(2"-M=(2?-1>2i,得

7；=l+3x2+5x2-+7x25+-+(2n-l)-2"

27；=2+3X22+5X2'+-+(2W-1)-2",兩式相減，得

-7；=I+2X(2+22+2J+-+2"')-(2n-1)-2",

-7；=l+2x(2/1-1)-2".

7；=3+2"Q-3)

20.(1)?.?尸(二1_平面.48(7。，/Cu平面.48CQ,：.PC1.AC.

取48的中點M,連接CM.???/8〃CO,AB=2CD,：,AM//CD,AM=CD,

...四邊形4)。5/為平行四邊形.；力。=‘/8=4必，，”0。1/為菱形，，/。_1M。.

2

VMO//CD,MB=CD：.四邊形HMDC為平行四邊形，

:.BC//MD,：.BC±4c.又也PCcBC=C,尸C,8Cu平面PBC,

."CJ"平面PBC./Cu平面E/C,.?.平面E/CJ_平面PBC.

(2)VPD=2,8=1,PCIDC,：.PC=y/3.

又有8c=1,AB=2,ZACB=90P,：.AC=43.

...在中，PA=R.

22

IAn+DF—/尸？

cosZADP=一一，在MED中cosZADE=-------------------------二DE=T,

42ADDE

即E為PD的中點建立空間直角坐標系，小0,初，8(100)的.30)

D

「5亍°汽-了4'74T2

平面AEC的法向量7=(6,0,V3).~PB=設尸6與平面AEC所成角為J,

…叵

26

9

21.(1)橢圓方程為二+程=1：

4.

(2)由r?尸是橢圓C的上頂點，故立線MN的斜率?定存在，

設M(X,,v,),y(x2,y2)?直線MN:y=kx+m，

Iy=kx+m

聯立方程組1x2,.得(1+4內)/+8及“+4加-4=0

口+>』

A=64*:m;-4(4?r-4)(l+4*-)=16(l+4**12-m'^>0,得"4/>病,

-8hw4/n2-4,.必一l必一](a+析_])(62+削_1)

X]+X?=-----7=-----，*k『-------------=---------------------

-1+4--1+4%'N電X再

-X吊+4(〃7-1)(芭+工」仁-1)'3

4；

山題意知"，/1,山為+x,=—必3■百x,=強——士，

134S61+4/3]+4/

代入化簡得4/(巾+1)-弘2,"+(卅-1)(4￡2+1卜3何+1卜。，整理得：-2，"-4=0,

切=-2故直線孫，過定點斤(0,_2),由A>0得1+4—>(-2)3解得丁>3,

4

且1PM=1-(-2)=3,

x

SPM、=一%|=~3,-x2\=M3,令，="內-3>0.

*?'2'111J2112121+4A-l+4￡：

則S=6t_6v6_3,

…戶+4,+：%啟=2

當且僅11v=￡,即r=2,即4=±立時等號成立,

I2