專題8.2空間幾何體的表面積和體積新課程考試要求1.理解三視圖和直觀圖間的關系，掌握三視圖所表示的空間幾何體.2.會計算柱、錐、臺、球的表面積和體積.核心素養本節涉及的數學核心素養：數學運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預測（1）以結合三視圖、幾何體的結構特征考查幾何體的面積體積計算為主，題型基本穩定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關系、垂直關系等相結合考查的情況.（2）與立體幾何相關的“數學文化”等相結合，考查數學應用.（3）幾何體的表面積與體積與三視圖結合是主要命題形式.有時作為解答題的一個構成部分考查幾何體的表面積與體積，有時結合面積、體積的計算考查等積變換等轉化思想．【知識清單】知識點1．幾何體的表面積圓柱的側面積圓柱的表面積圓錐的側面積圓錐的表面積圓臺的側面積圓臺的表面積球體的表面積柱體、錐體、臺體的側面積，就是各個側面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環形它的表面積就是展開圖的面積.知識點2．幾何體的體積圓柱的體積圓錐的體積圓臺的體積球體的體積正方體的體積正方體的體積【考點分類剖析】考點一：幾何體的面積【典例1】（2021·全國高考真題）北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果．在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（）A．26% B．34% C．42% D．50%【典例2】（2021·全國高考真題（文））已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側面積為________.【規律方法】幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．(2)旋轉體：其表面積等于側面面積與底面面積的和．(3)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的刪、補．(4)若以三視圖形式給出，解題的關鍵是根據三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．【變式探究】1．（2020·全國高考真題（理））已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A． B． C． D．

2．（2020·北京高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．

A． B． C． D．【總結提升】計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.考點二：幾何體的體積【典例3】（2021·天津高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個圓錐的體積之和為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2018·全國高考真題（文））在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A． B． C． D．【總結提升】（1）已知幾何體的三視圖求其體積，一般是先根據三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據題目所給數據與幾何體的表體積公式求其體積.(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．（3）規則幾何體：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉換法（4）不規則幾何體：若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體，再利用公式求解.（5）三視圖形式：若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解提醒：處理高線問題時，經常利用的方法就是“等積法”．【變式探究】1．（2018·全國高考真題（文））已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．2．（2019·山西高三月考）已知三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是__．【方法總結】求體積的兩種方法：①割補法：求一些不規則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等體積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值.考點三：幾何體的展開、折疊、切、截問題【典例5】（2019·天津高考真題（理））已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.【規律方法】幾個與球有關的切、接常用結論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.【典例6】（2019·四川高三月考（理））學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，高為.打印所用部料密度為．不考慮打印損耗．制作該模型所需原料的質量為________.（?。镜淅?】（2021·上海高二期末）已知正三棱柱SKIPIF1<0的側棱長為4，底面邊長為SKIPIF1<0，且它的六個頂點均在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的體積為__________.【總結提升】1.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．【典例8】（2021·浙江高二期末）某四棱錐三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是______，其內切球半徑為_____.【總結提升】看個性考向(一)是幾何體的外接球一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.考向(二)是幾何體的內切球求解多面體的內切球問題，一般是將多面體分割為以內切球球心為頂點，多面體的各側面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內切球的半徑.找共性解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：【變式探究】1.（2020·佛山市第四中學高二月考）《九章算術.商功》中有這樣段話：“斜解立方，得兩壍堵(qiandu).斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑(bienao).”這里所謂的“鱉臑”，就是在對長方體進行分割時所產生的四個面都為直角三角形的三棱錐.已知三棱錐SKIPIF1<0是一個“鱉臑”，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則（）．A．SKIPIF1<0 B．四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0 D．四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<03．（2018·天津高考真題（文））如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為__________．【典例9】（2020-2021學年江蘇省連云港市）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0．若O為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點（不包括端點），且SKIPIF1<0，則當點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為________時，三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，且最大值是________．【規律方法】有關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數量關系，哪些變，哪些不變．研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當的母線或棱展開，轉化為平面上兩點間的最短距離問題．【變式探究】（2017課標1，理16）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.【典例10】（2020·浙江溫州中學高三3月月考）單位正方體內部或邊界上不共面的四個點構成的四面體體積的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式探究】（2018·江蘇高考真題）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．【典例11】（2020·山東省泰安市6月三模）已知球O是正三棱錐的外接球，，，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是_______.【總結提升】解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀