2021-2022學年九年級數學上冊尖子生同步培優題典【華師大版】專題解直角三角形的應用：俯角仰角問題〔重難點培優〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021?湖南模擬〕如圖，在塔AB前的平地上選擇一點C，測出看塔頂的仰角為30°，從C點向塔底走100米到達D點，測出看塔頂的仰角為45°，那么塔AB的高為〔〕米．〔3≈A．145米B．135米C．125米D．120米【分析】首先根據題意分析圖形；此題涉及到兩個直角三角形，設AB＝x〔米〕，再利用CD＝BC﹣BD＝100的關系，進而可解即可求出答案．【解析】在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴ABBC=tan30°∴BC=3AB設AB＝x〔米〕，∵CD＝100米，∴BC＝〔x+100〕米．∴x+100=3x∴x＝50〔3+1即塔AB的高為50〔3+1〕≈135應選：B．2．〔2021?二道區校級模擬〕如圖，一艘潛水艇在海面下300米的點A處發現其正前方的海底C處有黑匣子，同時測得黑匣子C的俯角為30°，潛水艇繼續在同一深度直線航行960米到點B處，測得黑匣子C的俯角為60°，那么黑匣子所在的C處距離海面的深度是〔〕A．〔4803+300〕米B．〔9603+C．780米D．1260米【分析】易證∠BAC＝∠BCA，得BA＝BC．然后在直角△BCE中，利用銳角三角函數定義求出CE，即可得出答案．【解析】由C點向AB作垂線，交AB的延長線于E點，并交海面于F點．AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960〔米〕．在Rt△BEC中，sin∠EBC=CE∴CE＝BC?sin60°＝960×32=∴CF＝CE+EF＝〔4803+300應選：A．3．〔2021?龍崗區校級一模〕如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角α為30°，看這棟樓底部C處的俯角β為60°，熱氣球與樓的水平距離AD為90米，那么這棟樓的高度BC為〔〕A．40033米B．903米C．1203米D．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根據銳角三角函數中的正切可以分別求得BD和CD的長，從而可以求得BC的長，此題得以解決．【解析】由題意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝90米，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝90米，∴tanα=BD∴BD＝303〔米〕，在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝90米，∴tanβ=CD∴CD＝903〔米〕，∴BC＝BD+CD＝303+903=120即這棟樓的高度BC是1203米．應選：C．4．〔2021秋?雨花區校級月考〕如圖，數學實踐活動小組要測量學校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測角儀測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，向前走20米到達A1處，測得點D的仰角為°．測角儀AB的高度為1米，那么樓房CD的高度為〔〕〔°＝1+2A．52+21B．53+21C．【分析】在Rt△BDE中，由于∠DBE＝45°，可得到BE＝DE，設DE＝x，表示出BE、B1E，再在Rt△B1DE中，由°＝1+2=DEB1【解析】如圖，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE，設DE＝x，那么BE＝x，B1E＝x﹣20，在Rt△B1DE中，∵°＝1+2∴xx-20解得，x＝102+20∴CD＝CE+DE＝102+20+1＝102+應選：C．5．〔2021?章丘區模擬〕如圖，學校環保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，斜坡CD的長度為10m，DE的長為5m，那么樹AB的高度是〔〕m．A．10B．15C．153D．153-【分析】先根據CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由銳角三角函數的定義即可得出結論．【解析】在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE=DE∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC=CDtan30°=10∴AB＝BC?sin60°＝103×32=應選：B．6．〔2021春?重慶月考〕清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分別選擇了兩條不同的路線登頂，如圖，小明從A點出發水平直行到達了B點，然后沿坡度為i＝：1的斜坡BC走500米到達C點處，再從C點出發水平直行120米到達D點，最后從D點沿著坡度為i＝5：12的斜坡走520米登頂到達E點，而小亮選擇了從A點直接沿著斜坡AE登頂E點，小亮在山頂E點測得山腳A點的俯角為22°，那么AB的長度約為〔〕〔參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈〕A．230米B．240米C．250米D．260米【分析】通過作垂線和平行線，構造直角三角形，利用坡度和直角三角形的邊角關系可求出答案..【解析】如圖，過C、E分別作CF⊥AB、EG⊥AB，垂足為F、G，延長CD交EG于點H，由斜坡BC的坡度i＝：1，即i＝3：4，BC＝500，設CF＝3x米，那么BF＝4x米，由勾股定理可得，CF2+BF2＝BC2，即〔3x〕2+〔4x〕2＝5002，解得，x＝100〔米〕，∴GF＝300〔米〕，BF＝400〔米〕，由斜坡DE的坡度i＝5：12，BC＝520米，設EH＝5y米，那么DH＝12y米，由勾股定理可得，EH2+DH2＝DE2，即〔5y〕2+〔12〕2＝5202，解得，y＝40〔米〕，∴EH＝5y＝200〔米〕，DH＝12y＝480〔米〕，∴EG＝EH+HG＝200+300＝500〔米〕，BG＝BF+CD+DH＝400+120+480＝1000〔米〕，在Rt△AEG中，∵tan22°=EGAG，即∴AB＝250〔米〕，應選：C．7．〔2021?溫州〕如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂的仰角為α，測傾儀高AD為米，那么鐵塔的高BC為〔〕A．〔1.5+150tanα〕米B．〔+150C．〔1.5+150sinα〕米D．〔+150【分析】過點A作AE⊥BC，E為垂足，再由銳角三角函數的定義求出BE的長，由BC＝CE+BE即可得出結論．【解析】過點A作AE⊥BC，E為垂足，如下圖：那么四邊形ADCE為矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝米，在△ABE中，∵tanα=BE∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝〔1.5+150tanα〕〔米〕，應選：A．8．〔2021?邢臺一模〕如圖，點C從點B出發，沿射線BD方向運動，運動到點D后停止，那么在這個過程中，從A觀測點C的俯角將〔〕A．增大B．減小C．先增大后減小D．先減小后增大【分析】根據俯角是向下看的視線與水平線的夾角解答即可．【解析】點C從點B出發，沿射線BD方向運動，運動到點D后停止，那么在這個過程中，從A觀測點C的俯角將增大，應選：A．9．〔2021?市中區二模〕圖1是濟南動物園的一個大型娛樂設施﹣﹣摩天輪，它是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，上面掛在輪邊緣的是供乘客乘搭的座艙，乘客坐在摩天輪慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰泉城景色．圖2是它的的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，AB是摩天輪垂直地面的直徑，小嘉從摩天輪最低處B下來先沿水平方向向右行走20m到達C，再經過一段坡度〔或坡比〕為i＝，坡長為10m的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40m到達點E〔A、B、C、D、E均在同一平面內〕，在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24°，那么AB的高度約為〔〕米．〔參考數據：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈〕A．B．C．D．【分析】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根據tan24°=AM【解析】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．如下圖；在Rt△CDN中，CNDN設CN＝3k，DN＝4k，∵CD＝10m，∴〔3k〕2+〔4k〕2＝100，∴k＝2，∴CN＝6〔m〕，DN＝8〔m〕，∵四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝6〔m〕，BC＝MN＝20〔m〕，EM＝MN+DN+DE＝20+8+40＝68〔m〕，在Rt△AEM中，tan24°=AM∴6+AB解得：AB＝〔m〕，應選：A．10．〔2021?廣西〕小菁同學在數學實踐活動課中測量路燈的高度．如圖，她的目高AB為米，她先站在A處看路燈頂端O的仰角為35°，再往前走3米站在C處，看路燈頂端O的仰角為65°，那么路燈頂端O到地面的距離約為〔sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin65°≈，cos65°≈，tan65°≈〕〔〕A．米B．米C．米D．米【分析】過點O作OE⊥AC于點F，延長BD交OE于點F，設DF＝x，根據銳角三角函數的定義表示OF的長度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解析】過點O作OE⊥AC于點E，延長BD交OE于點F，設DF＝x，∵tan65°=OF∴OF＝xtan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°=OF∴OF＝〔3+x〕tan35°，∴x＝〔3+x〕，∴x＝，∴OF＝×＝，∴OE＝＝，應選：C．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?花都區一模〕如圖，在熱氣球上的點C測得地面A，B兩點的俯角分別為30°，45°，點C到地面的高度CD為100米，點A，B，D在同一直線上，那么AB兩點的距離是100〔3+1〕【分析】根據題意可得CD⊥AB，再根據特殊角三角函數即可求出AB兩點的距離．【解析】根據題意可知：CD⊥AB，∴在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝100，在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴tan30°=CD即33解得AB＝100〔3+1答：AB兩點的距離是100〔3+1故答案為：100〔3+112．〔2021?湖北〕如圖，某活動小組利用無人機航拍校園，無人機的飛行速度為3m/s，從A處沿水平方向飛行至B處需10s．同時在地面C處分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°，那么這架無人機的飛行高度大約是20m〔3≈【分析】過A點作AH⊥BC于H，過B點作BD垂直于過C點的水平線，垂足為D，如圖，利用仰角定義得到∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，利用速度公式計算出AB＝30m，先計算出AH＝15m，再利用正切的定義計算出BH＝153，由于∠ACH＝45°，那么CH＝AH＝15m，然后在Rt△BCD中利用∠BCD＝30°得到BD=15【解析】過A點作AH⊥BC于H，過B點作BD垂直于過C點的水平線，垂足為D，如圖，根據題意得∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH=12AB＝15∵tan∠ABH=AH∴BH=15tan30°∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝〔153+15〕m在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD=12BC=153答：這架無人機的飛行高度大約是20m．故答案為20．13．〔2021秋?普陀區期末〕如圖，小明在教學樓AB的樓頂A測得：對面實驗大樓CD的頂端C的仰角為α，底部D的俯角為β．如果教學樓AB的高度為m米，那么兩棟教學樓的高度差CH為m?【分析】根據正切的定義分別求出DH、CH，結合圖形計算即可．【解析】連接AD，過點A作AH⊥CD于點H，那么四邊形ABDH是矩形，∴AB＝DH＝m米，在Rt△ADH中，∠DAH＝β，∴tanβ=DH∴AH=m在Rt△ACH中，∠CAH＝α，∴CH＝AH?tanα=mtanβ?tanα答：兩棟教學樓的高度差CH為m?故答案為：m?14．〔2021?始興縣一模〕如圖，為了測量塔CD的高度，小明在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進60m至B處，測得仰角為60°，那么塔的高度是303m．〔小明的身高忽略不計，結果保存根號〕．【分析】從題意可知AB＝BD＝60m，至B處，測得仰角為60°，sin60°=CD【解析】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝60m．∴DC＝BD?sin60°＝60×32=303答：該塔高為303m，故答案為：303．15．〔2021?歷城區二模〕如圖是某商場自動扶梯的示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為30°在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，那么自動扶梯的垂直高度BD＝33m．〔結果保存根號〕【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的外角的性質得到BC＝AC＝6m，根據三角函數的定義即可得到結論．【解析】∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝6m，在Rt△BDC中，∵BD＝BC?sin∠BCD＝6×32=33故答案為：33．16．〔2021?松江區二模〕如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔塔尖點P的仰角為60°，沿山坡向上走200米到達B處，在B處測得點P的仰角為15°．山坡AB的坡度i＝1：3，且H、A、B、P在同一平面內，那么電視塔的高度PH為1003米．〔結果保存根號形式〕【分析】過B作BM⊥HA于M，過B作BN∥AM，由題意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∠PAH＝60°，由坡度的定義求出∠BAM＝30°，再證△PAB是等腰直角三角形，得PA＝AB＝200米，然后在Rt△PAH中，sin∠PAH=PHPA=sin60【解析】過B作BM⊥HA于M，過B作BN∥AM，如下圖：那么∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，由題意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∠PAH＝60°，∵山坡AB的坡度i＝1：3，∴tan∠BAM＝1：3=∴∠BAM＝30°，∴∠ABN＝30°，∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，∴△PAB是等腰直角三角形，∴PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，sin∠PAH=PHPA=sin60∴PH=32PA＝100故答案為：1003．17．〔2021春?新泰市期中〕如圖，某建筑物的頂部有一塊標識牌CD，小明在斜坡上B處測得標識牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來，在地面A處測得標識牌底部D的仰角為60°，斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．那么標識牌CD的高度是〔15﹣53〕米．【分析】過點B作BH⊥AE于點H，BF⊥CE于點F，根據題意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝53，四邊形BHEF是矩形，再根據三角函數即可求得標識牌CD的高度．【解析】如圖，過點B作BH⊥AE于點H，BF⊥CE于點F，根據題意可知：∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，∴BH＝5，AH＝53，∵CE⊥AE，∴四邊形BHEF是矩形，∴EF＝BH＝5，BF＝HE＝AH+AE＝53+10∵∠DAE＝60°，∴DE＝AE?tan60°＝103，∴DF＝DE﹣EF＝103-5∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF＝53+10∴CD＝CF﹣DF＝53+10﹣〔103-5〕＝15﹣5所以標識牌CD的高度是〔15﹣53〕米．故答案為：〔15﹣53〕．18．〔2021?太和縣模擬〕如圖，某興趣小組用無人機進行航拍測高，無人機從1號樓和2號樓的地面正中間B點垂直起飛到高度為50米的A處，測得1號樓頂部E的俯角為60°，測得2號樓頂部F的俯角為45°．1號樓的高度為20米，那么2號樓的高度為〔50﹣103〕米〔結果保存根號〕．【分析】過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H，可得四邊形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根據三角函數求得EG，在Rt△AHP中，根據三角函數求得AH，再根據線段的和差關系即可求解．【解析】過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H，那么四邊形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B為CD的中點，∴EG＝CB＝BD＝HF，由得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG?tan30°＝30×33=在Rt△AHP中，AH＝HF?tan45°＝103米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣103〔米〕．答：2號樓的高度為〔50﹣103〕米．故答案為：〔50﹣103〕．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021?宣城模擬〕如圖，小亮在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為60°，此時他距地面的高度AE為21米，電梯再上升9米到達D點，此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為45°，求大樓BC的高度．〔結果保存根號〕【分析】過D作DH⊥BC于H，過E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的長，在Rt△BDH中，求出BH，那么可得出答案【解析】過D作DH⊥BC于H，過E作EG⊥BC于G．由得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG=CG∴EG=CGtan60°∴DH＝EG＝73米．在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，∴BH＝DH＝73米．∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+73=〔30+73答：大樓BC的高度是〔30+73〕米．20．〔2021?河南模擬〕某建筑工地的平衡力矩塔吊如下圖，在配重點E處測得塔帽A的仰角為30°，在點E的正下方23米處的點D處測得塔帽A的仰角為53°，請你依據相關數據計算塔帽與地面的距離AC的高度．〔計算結果精確到米，參考數據：3≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°=【分析】連接DE，先證四邊形BCDE是矩形，得BE＝CD，BC＝DE＝23米，再由含30°角的直角三角形的性質得BE=3AB，然后求出AC=43CD，設AB＝x米，那么CD＝BE=3x米，AC=433x米，由BC＝AC【解析】連接DE，如下圖：由題意得：DE⊥CD，BE⊥AC，DC⊥AC，DE＝23米，∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝∠CDE＝90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE＝23米，∵∠AEB＝30°，∴BE=3AB在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD=tan53∴AC=43設AB＝x米，那么CD＝BE=3x米，AC=4∵BC＝AC﹣AB＝23，∴433x﹣x＝解得：x≈，∴AC＝AB+BC≈17.6+23≈〔米〕，答：塔帽與地面的距離AC的高度約為米．21．〔2021?安徽模擬〕如圖，在高度為400米的熱氣球P上測得地面一點B的俯角∠DPB＝45°，測得山頂A的仰角∠APE＝25°，BC＝600米，求山高AC〔參考數據：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈〕．【分析】過點P作PF⊥BC于F，那么四邊形CEPF為矩形，易證△BPF是等腰直角三角形，求出BF、PE，在Rt△APE中，再由三角函數定義求出AE，即可得出結果．【解析】過點P作PF⊥BC于F，如下圖：那么四邊形CEPF為矩形，∴CE＝PF＝400米，CF＝PE，∠EPF＝∠DPF＝90°，∴∠BPF＝90°﹣∠DPB＝90°﹣45°＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝PF＝400米，∴CF＝BC﹣BF＝600﹣400＝200〔米〕，∴PE＝200米，在Rt△APE中，tan∠APE=AE∴AE＝PE?tan25°≈200×＝94〔米〕，∴AC＝AE+CE＝94+400＝494〔米〕，答：山高AC約為494米．22．〔2021?江西模擬〕，如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，數學興趣小組的同學在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1：的斜坡AP攀行了26米，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：〔1〕坡頂A到地面PO的距離；〔2〕古塔BC的高度〔結果精確到1米〕．〔參考數據：sin76°≈，cos76°≈，tan76°≈〕【分析】〔1〕先過點A作AH⊥PO，根據斜坡AP的坡度為1：，得出AHPH=512，設AH＝5k，那么PH＝12k，AP＝13〔2〕先延長BC交PO于點D，根據BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四邊形AHDC是矩形，再根據∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后設BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根據在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出【解析】〔1〕過點A作AH⊥PO，垂足為點H，∵斜坡AP的坡度為1：，∴AHPH設AH＝5k，那么PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10，答：坡頂A到地面PO的距離為10米．〔2〕延長BC交PO于點D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四邊形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD，設BC＝x，那么x+10＝24+DH，∴AC＝DH＝x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即解得x≈19．答：古塔BC的高度約為19米．23．〔2021秋?成華區期末〕在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區的一、二號樓進行測高實踐．如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面CD的中點B垂直起飛到達點A處，測得一號樓頂部E的俯角為55°，測得二號樓頂部F的俯角為37°，此時航拍無人機的高度為60米，一號樓的高CE為20米，求二號樓的高DF．〔結果精確到1