邊與角的互換.三種基本途徑解三角形的實質(zhì)就是利用邊、角關(guān)系的連接,由己知的量去求待求的量.其中的邊、內(nèi)角三角函數(shù)互相轉(zhuǎn)換是其基本思想;轉(zhuǎn)換的途徑有兩條:化成僅含邊的關(guān)系或僅含內(nèi)角三角函數(shù)的關(guān)系.[母題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)(正弦轉(zhuǎn)換)正弦定理,可把邊的齊次等式(或分式)與內(nèi)角正弦的齊次(或分式)等式進行相互轉(zhuǎn)換;(Ⅱ)(余弦轉(zhuǎn)換)余弦定理,可把內(nèi)角的余弦函數(shù)化成邊的函數(shù);同樣可把邊的等式化成內(nèi)角余弦函數(shù)值的有:c2=a2+b2-2mabcosC=m;(Ⅲ)(聯(lián)合轉(zhuǎn)換)聯(lián)合轉(zhuǎn)換,特指同時利用正弦和余弦轉(zhuǎn)換,或把正切和余切轉(zhuǎn)化為正弦和余弦后,進行正弦和余弦轉(zhuǎn)換.[母題解析]:略.1.正弦轉(zhuǎn)換子題類型Ⅰ:(2016年天津高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.已知asin2B=bsinA.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若cosA=,求sinC的值.[解析]:(Ⅰ)由asin2B=bsinA2asinBcosB=bsinA2abcosB=abcosB=B=;(Ⅱ)由cosA=sinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.[點評]:正弦轉(zhuǎn)換就是靈活運用正弦定理,進行邊與內(nèi)角正弦之間的相互轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的方向有:或轉(zhuǎn)化為僅含內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系或轉(zhuǎn)化為僅含邊的關(guān)系.[同類試題]:1.(2014年大綱高考試題)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.2.(2011年遼寧高考試題)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若c2=b2+a2,求B.2.余弦轉(zhuǎn)換子題類型Ⅱ:(2016年四川高考試題)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且+=.(Ⅰ)證明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2-a2=bc,求tanB.[解析]:(Ⅰ)由+=+=sinBcosA+sinAcosB=sinAsinBsin(A+B)=sinAsinBsinC=sinAsinBsinAsinB=sinC;(Ⅱ)由+=+=1tanA+tanB=tanAtanB;又由b2+c2-a2=bccosA==sinA=tanA=+tanB=tanBtanB=4.[點評]:余弦轉(zhuǎn)換就是靈活運用余弦定理,進行邊與內(nèi)角正弦之間的相互轉(zhuǎn)化,余弦轉(zhuǎn)換兩種方式:①可把內(nèi)角的余弦函數(shù)化成邊的函數(shù);②c2=a2+b2-2mabcosC=m;[同類試題]:3.(2014年安徽高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sin(A+)的值.4.(2013年重慶高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)設(shè)cosAcosB=,=,求tanα的值.3.聯(lián)合轉(zhuǎn)換子題類型Ⅲ:(2016年山東高考試題)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)證明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.[解析]:(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=+2(+)=+2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB2sin(A+B)=sinA+sinB2sinC=sinA+sinB2c=a+ba+b=2c;(Ⅱ)由a+b=2ccosC===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立cosC的最小值是.[點評]:若已知條件中,既有邊又有角,則對該條件的變形一般都有兩條途徑,兩條途徑的對應(yīng)的解題過程有優(yōu)劣之分;兩條途徑的選擇與待求結(jié)論、已知條件的結(jié)構(gòu)等密切相關(guān),確定目標是變換的基礎(chǔ).[同類試題]:5.(2009年全國Ⅰ高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,己知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.6.(2010年全國Ⅰ高考試題)已知△ABC的內(nèi)角A,B及其對邊a,b滿足a+b=acotA+bcotB,求內(nèi)角C.4.子題系列:7.(2011年江蘇高考試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.(Ⅰ)若sin(A+)=2cosA,求A的值;(Ⅱ)若cosA=,b=3c,求sinC的值.8.(2012年江西高考試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(Ⅰ)求證:B-C=;(Ⅱ)若a=,求△ABC的面積.9.(2014年重慶高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8.(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面積S=sinC,求a和b的值.10.(2012年浙江高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.11.(2010年重慶高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3b2+3c2-3a2=4bc.(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)求的值.12.(2013年大綱高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.13.(2017年天津高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4sinB,ac=(a2-b2-c2).(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求sin(2B-A)的值.14.(2010年遼寧高考試題)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.15.(2011年全國高考試題)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinA+csinC-asinC=bsinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若A=750,b=2,求a與c.16.(2008年重慶高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A=600,c=3b.求:(Ⅰ)的值;(Ⅱ)cotB+cotC的值.17.(2008年全國Ⅰ高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,且acosB-bcosA=c.(Ⅰ)求tanAcotB的值;(Ⅱ)求tan(A-B)的最大值.18.(2005年天津高考試題)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c,設(shè)a,b,c滿足條件:b2+c2-bc=a2和=+,求∠A和tanB的值.19.(2011年山東高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面積S.5.子題詳解:1.解:由3acosC=2ccosA3sinAcosC=2sinCcosA3tanA=2tanCtanC=tanB=-tan(A+C)=-1B=.2.解:(Ⅰ)由asinAsinB+bcos2A=asin2AsinB+sinBcos2A=sinAsinB=sinAb=a=;(Ⅱ)由b=a,c2=b2+a2c=acosB=B=.3.解:由b=3,c=1,A=2BsinA=sin2BsinA=2sinBcosBa=2ba=2;(Ⅱ)由cosA==-sinA=sin(A+)=(sinA+cosA)=.4.解:(Ⅰ)由a2+b2+ab=c2cosC=-C=;(Ⅱ)由cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBsinAsinB=;又由=(tanαsinA-cosA)(tanαsinB-cosB)=tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB=tan2α-5tanα+4=0tanα=1或4.5.解:由sinAcosC=3cosAsinCa=3c2(a2-c2)=b2,又由a2-c2=2b4b=b2b=4.6.解:由a+b=acotA+bcotBsinA+sinB=cosA+cosBsinA-cosA=cosB-sinAsin(A-)=sin(-B)(A-)=2kπ+(-B)或(A-)=2kπ+π-(-B)A+B=2kπ+或A-B=2kπ+π;又A+B∈(0,π)A+B=C=.7.解:(Ⅰ)由sin(A+)=2cosAA=;(Ⅱ)由cosA=sinA=,a=2csinA=2sinCsinC=.8.解:(Ⅰ)由bsin(+C)-csin(+B)=asinB(sinC+cosC)-sinC(sinB+cosB)=sin(B-C)=1B-C=;(Ⅱ)由A=,B-C=B=,C=S△ABC=a2=.9.解:(Ⅰ)cosC=-;(Ⅱ)由sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=4sinCsinA+sinB=3sinCa+b=3c;又S=sinCa=b=3.10.解:(Ⅰ)由bsinA=acosBsinBsinA=sinAcosBtanB=B=;(Ⅱ)由sinC=2sinAc=2a;又由b2=a2+c2-2accosBa2+c2-ac=9a=,c=2.11.解:(Ⅰ)由3b2+3c2-3a2=4bccosA=sinA=;(Ⅱ)由原式==-.12.解:(Ⅰ)由a2+c2-b2=-accosB=-B=;(Ⅱ)由cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinCA-C=C=或.13.解:(Ⅰ)cosA=-;(Ⅱ)sin(2B-A)=-.14.解:(Ⅰ)由2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinCa2=b2+c2+bccosA=-A=;(Ⅱ)由sinB+sinC=1sinB+sin(B+)=1sinB+cosB=1sin(B+)=1B=C=B=△ABC是鈍角等腰三角形.15.解:(Ⅰ)由已知得:a2+c2-ac=b2cosB=B=450;(Ⅱ)由a=b=1+,c=b=.16.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAa2=c2=;(Ⅱ)由cotB+cotC===.17.解:(Ⅰ)由acosB-bcosA=ca-b=ca2-b2=c2t