1§9-4歐拉公式的應用范圍·

臨界應力總圖歐拉臨界應力λ稱為柔度，無量綱。1.歐拉公式的應用范圍22)柔度越大，1)柔度λ中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是壓桿本身的一個力學性能指標；壓桿越細柔，臨界應力σcr越低，性越差。穩定3λP僅與材料有關。可以使用歐拉公式計算壓桿的臨界力的條件是：對于Q235鋼λP

100。越是細柔的壓桿，柔度λ越大，公式計算壓桿的臨界力。越可以使用歐拉4σs折減彈性模量公式

σcr

O

λσpλp

歐拉公式

2）當σcr>σP時，σ-ε曲線呈非線性，E降低，σcr比歐拉公式的計算結果為低。2.壓桿的臨界應力總圖1）當λcr≥λP時，可用歐拉公式計算σcr;5解：1）求BC桿的軸力以AB梁為分離體，對A點取矩，有：例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mm，內徑d=40mm，兩端球形鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據該桿的穩定性要求，確定橫梁上均布載荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之許可值。62）求BC桿的臨界力=16mm×2/cos30°16×103=144.3=707mm2。=181132mm4。7因為λ>λP=100（前面已求得），故可用歐拉公式計算BC桿的臨界力。×181132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69kN得：q=15.3kN/m8§9-5實際壓桿的穩定因數1.影響實際壓桿穩定性的因素初曲率壓力偏心殘余應力2.穩定許用應力與柔度λ有關。

稱為穩定因數，對于Q235，可查表獲得；對于木材，可查本章公式9-11、9-12獲得。9例：圖示長3m、兩端球鉸支承的中心受壓直桿，由兩根110mm×70mm×7mm角鋼通過綴條及綴板聯成整體，并符合鋼結構設計規范中的實腹式b類截面中心受壓桿的要求。已知該桿材料為Q235鋼，其強度許用應力為[σ]=170Mpa。試求壓桿的穩定許用應力。解：（1）計算組合截面慣性矩。10

(2)確定壓桿柔度值。

由于Iz>Iy，說明壓桿弱軸為y，強軸為z，應以與y軸對應的慣性半徑來計算柔度值。(3)

計算穩定許可應力。由λ＝97，查表9-3得11計算壓桿穩定性時應注意的問題：1）壓桿在不同平面內失穩時約束的不同使μ值不同；3）注意壓桿在不同平面內失穩時計算長度l的不同。2）壓桿在不同平面內失穩時中性軸的不同，計算過程中應選用不同的慣性矩使I和i不同；12作業：習題9-9；練習：習題9-7。13§9-6壓桿的穩定計算·壓桿的合理截面通常改寫為:NOTE:

當壓桿橫截面有局部削弱時，因壓桿的臨界力是根據整桿失穩來確定的，故在穩定計算中不必考慮局部截面削弱的影響，以毛面積進行計算。但強度計算要以凈面積進行計算。壓桿的穩定條件：

F為壓桿所受軸向壓力；為壓桿穩定因數；

A為壓桿的橫截面面積。

[σ]為壓桿材料的許用壓應力。14

穩定計算中，若已知壓桿的材料、桿長和桿端的約束條件，而需選擇截面尺寸時，由于穩定因數（或柔度λ）受截面形狀和大小的影響，通常采用試算法。例：一強度等級為TC13的圓松木，長6m，中徑為300mm，其強度許用應力為10Mpa。現將圓木用來當作起重用的扒桿（見圖），試計算圓木所能承受到的許可壓力值。解：（1）設在圖示平面內失穩15由公式（9-12a）得（2）設在垂直于紙面的平面內失穩許可壓力為公式（9-12b）所以，許可壓力為77kN。16解：（1）按穩定條件選擇槽鋼號碼例：廠房的鋼柱長7m，上、下兩端分別與基礎和梁連接。由于與梁連接的一端可發生側移，因此，根據柱頂和柱腳的連結剛度，鋼柱的長度因數取為μ＝1.3。鋼柱由兩根Q235鋼的槽鋼組成，符合鋼結構設計規范中的實腹式b類截面中心受壓桿的要求。在柱腳和柱頂處用螺栓借助于連結板與基礎和梁連接，同一橫截面上最多有四個直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱承受的軸向壓力為270kN，材料的強度許用應力為[σ]=170Mpa。試為鋼柱選擇槽鋼號碼。因λ=μl/i中，i待求，λ待定，故待定。采用試算法，假設

=0.5017查型鋼表得，14a號槽鋼：A

=18.51cm2，iz=5.52cm。該組合截面Iz和A均為單根槽鋼的2倍，故iz與單根的相同。查表9－3得，=0.262，故原假設0.50過大，需假設較小的

再試算。NOTE：不能采用

=0.262，因

減小，A增大，iz也增大，從而λ減小而

增大。因此，試用

=0.35進行截面選取。18查型鋼表得，16b號槽鋼：A

=25.15cm2，iz=6.1cm。鋼柱的工作應力為工作應力僅超過穩定許用應力的1.5%，允許。查表9－3得，

=0.311，接近原假設0.35。按

=0.311核算，穩定許用應力為19（2）計算組合槽鋼間距h

以上計算基于iz，保證了壓桿在xy平面內的穩定性。為保證其在xz平面內的穩定性，需選擇合適的組合槽鋼間距h。故所以

設壓桿在xy、xz兩平面內的長度因數相同，合理設計應使iy與iz相等。查型鋼表得，16b號槽鋼：iy0

=1.82cm，z0=1.75cm。令iy=iz=61mm，得20（3）校核凈截面強度

被每個螺栓孔削弱的橫截面面積為凈截面上的壓應力為

壓桿橫截面的凈截面面積為凈截面的強度滿足要求。21例：由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，兩端為柱形鉸，即在xy平面內失穩時，桿端約束情況接近于兩端鉸支，長度因數μz=1.0；當在xz平面內失穩時，桿端約束情況接近于兩端固定，長度因數μy=0.6。已知連桿在工作時承受的最大壓力為F=35kN，材料的強度許用應力[σ]=206MPa,并符合鋼結構設計規范中a類中心受壓桿的要求。試校核

其穩定性。

O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

22解：1)計算慣性半徑O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

235225222)計算柔度l2580iy5.05=68.9l1iz75011.58=64.8243)求穩定因數取λy和λz中較大的λy來查表和計算（內插法）：4)求穩定許用應力故該連桿滿足穩定性要求。

此題中的連桿在兩個平面失穩時的約束情況、計算

長度和慣性矩都不同，應分別計算其柔度以判斷其穩定

性的強弱。

25提高壓桿穩定性的措施σs折減彈性模量公式

σcr

O

λσpλp

歐拉公式

提高穩定性，就要降低柔度。261.選擇合理的截面形狀√27√

A相同，d/D=0.8,Fbcr=4.5Facr（a）◎dD（b）282.合理調整約束

（1）各向柔度差不多少發動機連桿29（2）降低相當長度3031

作業：習題9-12。32壓桿穩定總結1.壓桿穩定性的概念臨界狀態

——

壓桿從穩定平衡到不穩定平衡之間的過渡狀態。臨界力Fcr

——

臨界狀態的軸向壓力。失穩

——

壓桿失去穩定平衡狀態的現象。332.細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式μ稱為長度因數。μl稱為相當長度。34在確定的約束條件下，歐拉臨界力Fcr：2）是壓桿的自身的一種力學性質指標，反映承載能力的強弱，臨界力Fcr越高，穩定性越好，承載能力越強；3）與外部軸向壓力的大小無關。1）僅與材料（E）、長度(l)和截面尺寸(A)有關，材料的E越大，截面越粗，桿件越短，臨界力Fcr越高；約束越強，μ因數越小，臨界力Fcr越高，穩定性越好；約束越弱，μ因數越大，臨界力Fcr越低，穩定性越差。350.5l表9–1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對移動失穩時撓曲線形狀FcrABl臨界力Pcr歐拉公式長度系數μμ=1μ

0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點C、D—撓曲線拐點0.5lFcrFcrl2llC—撓曲線拐點C363.歐拉公式的應用范圍歐拉臨界應力λ稱為柔度1)柔度λ中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是壓桿本身的一個力學性能指標；2)柔度越大，壓桿越細柔，臨界應力σcr越低，性越差。穩定37λP僅與材料有關。可以使用歐拉公式計算壓桿的臨界力的條件是：384.實際壓桿的穩定因數穩定許用應力與柔度λ有關。

稱為穩定因數，對于Q235，可查表獲得；對于木材，可查本章公式9-11、9-12獲得。39計算壓桿穩定性時應注意的問題：1）壓桿在不同平面內失穩時約束的不同使μ值不同；3）注意壓桿在不同平面內失穩時計算長度l的不同。2）壓桿在不同平面內失穩時中性軸的不同，計算過程中應選用不同的慣性矩使I和i不同；405.壓桿的穩定計算·壓桿的合理截面壓桿的穩定條件：

F為壓桿所受軸向壓力；為壓桿穩定因數；

A為壓桿的橫截面面積。

[σ]為壓桿材料的許用壓應力。41

穩定計算中，若已