四川省什邡中學高2022級平實班第三學期期中考試數學試題卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復數的四則運算、共軛復數及復數的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，則，故在復平面內對應的點為，在第一象限．故選：A．2.在△ABC中，，，，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據題意利用余弦定理直接求解即可.【詳解】因為△ABC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化簡整理得，解得或（舍去）.故選：C3.已知點和點，則以線段為直徑的圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求圓心與半徑可得標準方程.【詳解】因為點和點為直徑端點，所以中點，即為圓心，由，則圓的半徑，故圓的標準方程為.故選：C.4.國家射擊運動員甲在某次訓練中10次射擊成績單位：環，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數據第70百分位數為（）A.7 B.8 C. D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位數的概念和計算公式可直接求解.【詳解】將10次射擊成績按照從小到大順序排序為：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因為，所以第70百分位數為，故選：.5.若，，直線與直線互相垂直，則ab的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據兩直線垂直得到a和b之間的關系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.【詳解】由直線與直線互相垂直，所以，即.又，，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以ab的最大值為．故選：C．6.過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點F，若△ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題設條件可得四邊形為矩形，設，，根據雙曲線定義和△ABF的面積可得，故可求的值.【詳解】如圖，因為以AB為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點F，所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點，所以AB與相等且平分，所以四邊形為矩形，所以．設，，則，所以．因為，所以．因為△ABF的面積為，所以，得，所以，得，所以，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7.已知O為坐標原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設左焦點為，連接，，，由題，，關于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.設，則，又因為，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點睛】解題時注意數形結合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關系用含a，b，c的代數式表示出來，即可求解離心率.8.在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據此可求球心到以為直徑的截面的距離.【詳解】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接.因三角形為直角三角形，故，同理，故，所以為三棱錐的外接球的球心，而，因為，平面，平面平面，平面平面，故平面，而平面，故.在直角三角形中，，故，故，在直角三角形中，，故，故.設球心到以為直徑的截面的距離為，則，故選：B.【點睛】思路點睛：三棱錐外接球的球心，可根據球心的定義來判斷（即球心到各頂點的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構成直角三角形.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.圓和圓的交點為，，則有（）A.公共弦所在直線方程為B.線段中垂線方程為C.公共弦的長為D.為圓上一動點，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計算弦長判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D．【詳解】圓的圓心，半徑，的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，對于A，將方程與相減，得公共弦AB所在直線的方程為，即，A正確；對于B，由選項A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，而線段中垂線過點，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；對于C，點到直線距離為，因此，C錯誤；對于D，P為圓上一動點，圓心到直線的距離為，因此點P到直線AB距離的最大值為，D正確．故選：ABD10.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數的圖象關于對稱C.函數在的值域為D.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位【答案】ACD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當且僅當，由此即可判斷B；直接由換元法結合函數單調性求值域對比即可判斷C；直接按題述方式平移函數圖象，求出新的函數解析式，對比即可判斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數圖象最高點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項正確；由A選項分析可知，而是的對稱中心當且僅當，但，從而函數的圖象不關于對稱，故B選項錯誤；當時，，，而函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以函數在值域為，故C選項正確；若將函數的圖象向左平移個單位，則得到的新的函數解析式為，故D選項正確.故選：ACD.11.如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的中點，，則（）A.平面 B.平面平面C.三棱錐的體積為 D.異面直線和所成的角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】A項，通過證明線線平行即可得出結論；B項，通過證明平面，即可得出結論；C項，通過等積法即可求出三棱錐的體積；D項，將異面直線和所成的角轉化為同一個平面上兩條直線的夾角，即可求出異面直線和所成的角的余弦值.【詳解】由題意，在四棱錐中，連接交于點，連接，過點作于點，在中，，點為中點，在中，為中點，∴∥,∴異面直線和所成的角即為（或其補角），∵面，平面，∴平面，A正確；在四棱錐中，平面，又，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，B正確；在中，，，∴∥，，∴是等腰直角三角形，，∵平面，∴平面平面，∵平面平面，平面，∴平面.∵為的中點，∴三棱錐的體積為：，C錯誤；在Rt中，，∴，在Rt中，，在Rt中，為的中點，∴，在Rt中，，D正確.故選：ABD.12.已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，P是C上任意一點，則下列說法正確的是（）A.C的漸近線方程為B.若直線與雙曲線C有交點，則C.點P到C的兩條漸近線的距離之積為D.當點P與A，B兩點不重合時，直線PA，PB的斜率之積為2【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線漸近線方程可判斷A，通過對比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關系可求解B，結合點到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結合雙曲線方程化簡可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線，則，對于A，C的漸近線方程為，A正確；對于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點，則，B錯誤；對于C，設點，則，點P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對于D，易得，，設，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯誤．故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先求的值，再用表示齊次分式，即可求解.【詳解】，.故答案為：14.已知，，直線過點且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是__________________【答案】【解析】【分析】畫出圖形，由題意得所求直線的斜率滿足或，用直線的斜率公式求出和的值，解不等式求出直線的斜率的取值范圍．【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，即，或，或，故答案為：．15.已知命題：，使得，若是真命題，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分離變量可得，結合能成立的思想和二次函數最值的求法可求得結果.【詳解】由得：；，使得，；為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，當時，，的取值范圍為.故答案為：.16.已知為單位向量，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題設以為x、y軸構建平面直角坐標系，，令結合已知有，又，將問題轉化為求點到上點距離的范圍，即可得結果.【詳解】由為單位向量，且，故，以為x、y軸構建平面直角坐標系，如下圖示，則，令，則，又，所以，即，故的終點在圓心為，半徑為1的圓上，而，故，所以，只需確定點到上點距離的范圍即可，而到的距離為，故，則.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：構建平面直角坐標系，將問題化為求定點到圓上點距離的范圍，進而求目標式的范圍.四、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知向量與的夾角為60°，＝1，．（1）求及；（2）求.【答案】（1）2，1；（2）.【解析】【分析】（1）利用模長坐標公式求，再由數量積的定義求；（2）應用向量數量積的運算律求即可.【小問1詳解】由題設，則【小問2詳解】由，所以.18.夜幕降臨，華燈初上，豐富多元的夜間經濟，通過夜間商業和市場，更好滿足了民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富了購物體驗和休閑業態．打造夜間經濟，也是打造城市品牌、促進產業融合、推動消費升級的新引擎．為不斷創優夜間經濟發展環境，近朋，某市商務局對某熱門夜市開展“服務滿意度大調查”，隨機邀請了100名游客填寫調查問卷，對夜市服務評分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為非常滿意，為完美．（1）求的值及估計分位數：（2）調查人員為了解游客對夜市服務的具體意見，對評分不足60分的調查問卷抽取2份進行細致分析，求恰好為非常不滿意和不滿意各一份的概率．【答案】18.；分位數為.19.【解析】【分析】（1）根據頻率之和為1，求出；判斷出分位數所在區間，再設出分位數，列出方程即可求解；（2）列舉出基本事件的所有樣本點即所求事件樣本點，按古典概型即可求解.【小問1詳解】由，解得；由低于90分的頻率為，則分位數在內，設樣板數據的分位數約為分，則，解得,即分位數為.【小問2詳解】非常不滿意的游客有人，設編號為,不滿意的游客有人，設編號為，則基本事件的總數有：工15種，事件“恰好為非常不滿意和不滿意各一份”有：工8種，故.19.已知圓：，直線：，與圓相交于，兩點，．（1）求實數的值；（2）當時，求過點并與圓相切的直線方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據圓的半徑以及直線與圓相交所得的弦長求解出圓心到直線的距離，由此列出關于的方程即可求解出結果；（2）分別考慮直線的斜率存在與不存在兩種情況，直線斜率不存在時直接求解，直線斜率存在時利用圓心到直線的距離等于半徑進行求解.【小問1詳解】因為圓的半徑，，所以圓心到直線的距離，所以，所以，所以或.【小問2詳解】因為，所以，當直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到的距離為，所以與圓相切；當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以，所以，所以直線方程為，所以過點并與圓相切的直線方程為或.20.已知向量．（1）若，求的值；（2）記，在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．且滿足，求函數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過向量的數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，結合二倍角公式轉化求解即可；（2）利用正弦定理，結合三角形的內角和通過的范圍，轉化求解函數值的范圍即可．【詳解】解：（1）所以；（2），由正弦定理得，，．，．，，，．．又，．故函數的取值范圍是．21.如圖，平面，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）兩種方法，一是通過題意，得到平面的法向量，然后結合，通過計算可得，從而得到平面；二是通過證明、，得到平面平面，進而推出平面；（2）通過建立空間直角坐標系，設出平面和平面的法向量，并結合題意條件，求解出的長，然后根據平面，求解出，即可.【小問1詳解】依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），