河北省保定一中2023-2024學年數學高一上期末學業水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．如圖是函數在一個周期內的圖象，則其解析式是（）A. B.C. D.2．直線的傾斜角為A. B.C. D.3．關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.4．對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足下列兩個條件：①在區間上是單調的；②當定義域是時，的值域也是，則稱是函數的一個“黃金區間”.如果可是函數的一個“黃金區間“，則的最大值為（）A. B.1C. D.25．已知集合，，若，則的子集個數為A.14 B.15C.16 D.326．將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數的圖象，則函數的圖象的一條對稱軸為A. B.C. D.7．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B.C. D.8．某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（）.A. B.C. D.9．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的菱形，且，則原平面圖形的周長為（）A. B.C. D.810．的弧度數是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知若，則（）.12．函數的值域為，則實數a的取值范圍是______13．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為__________.14．，若，則________.15．已知函數，若函數圖象恒在函數圖象的下方，則實數的取值范圍是__________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知函數是定義在區間上的奇函數，且.（1）求函數的解析式；（2）判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性的定義證明.17．已知函數，且最小正周期為.（1）求的單調增區間；（2）若關于的方程在上有且只有一個解，求實數的取值范圍.18．已知函數的圖象在定義域上連續不斷.若存在常數，使得對于任意的，恒成立，稱函數滿足性質.（1）若滿足性質，且，求的值；（2）若，試說明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和.（參考數據：）（3）若函數滿足性質，求證：函數存在零點.19．已知二次函數的圖象關于直線對稱，且關于x的方程有兩個相等的實數根（1）求函數的值域；（2）若函數（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值20．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別是棱的中點.（1）證明:平面;（2）求三棱錐的體積.21．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期為π，且（1）求ω和φ的值；（2）函數f（x）的圖象縱坐標不變的情況下向右平移個單位，得到函數g（x）的圖象，①求函數g（x）的單調增區間；②求函數g（x）在的最大值

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】通過函數的圖象可得到：A=3，，，則，然后再利用點在圖象上求解.，【詳解】由函數的圖象可知：A=3，，，所以，又點在圖象上，所以，即，所以，即，因為，所以所以故選：B【點睛】本題主要考查利用三角函數的圖象求解析式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.2、B【解析】設直線x﹣y+3=0的傾斜角為θ由直線x﹣y+3=0化為y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°故選B3、D【解析】把方程的根轉化為二次函數的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應的二次函數設為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數剛好經過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數與x軸只有一個交點，橫坐標屬于，，解得，當時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數m的取值范圍為故選：D4、C【解析】根據題意得到在上單調，從而得到為方程的兩個同號實數根，然后化簡，進而結合根與系數的關系得到答案.【詳解】由題意，在和上均是增函數，而函數在“黃金區間”上單調，所以或，且在上單調遞增，故，即為方程的兩個同號實數根，即方程有兩個同號的實數根，因為，所以只需要或，又，所以，則當時，有最大值.5、C【解析】根據集合的并集的概念得到，集合的子集個數有個，即16個故答案為C6、C【解析】，所以，所以，所以是一條對稱軸故選C7、C【解析】先還原幾何體為一直四棱柱，再根據柱體體積公式求結果.【詳解】根據三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為，底面為直角梯形，上下底分別為、，梯形的高為，因此幾何體的體積為，選C.【點睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，再在具體幾何體中求體積或表面積等.8、D【解析】根據隨時間的推移該人所走的距離的大小的變化快慢，從而即可獲得問題的解答，即先利用時的函數值排除兩項，再利用曲線的斜率反映行進速度的特點選出正確結果【詳解】解：由題意可知：時所走的路程為0，離單位的距離為最大值，排除A、C，隨著時間的增加，先跑步，開始時隨的變化快，后步行，則隨的變化慢，所以適合的圖象為D；故選：D9、B【解析】利用斜二測畫法還原直觀圖即得.【詳解】由題可知，∴，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則，∴，∴原平面圖形的周長為.故選：B.10、C【解析】弧度，弧度，則弧度弧度，故選C.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】利用平面向量平行的坐標表示進行求解.【詳解】因為，所以，即；故答案：.【點睛】本題主要考查平面向量平行的坐標表示，兩向量平行坐標分量對應成比例，側重考查數學運算的核心素養.12、【解析】分，，三類，根據一次函數和二次函數的性質可解.【詳解】當時，，易知此時函數的值域為；當時，二次函數圖象開口向下，顯然不滿足題意；當時，∵函數的值域為，∴，解得或，綜上，實數a的取值范圍是，故答案為：.13、【解析】根據扇形面積公式計算即可.【詳解】設弧長為，半徑為，為圓心角，所以，由扇形面積公式得.故答案為：14、【解析】分和兩種情況解方程，由此可得出的值.【詳解】當時，由，解得；當時，由，解得（舍去）.綜上所述，.故答案為：.15、【解析】作出和時，兩個函數圖象，結合圖象分析可得結果.【詳解】當時，，，兩個函數的圖象如圖：當時，，，兩個函數的圖象如圖：要使函數的圖象恒在函數圖象的下方，由圖可知，，故答案為：.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）增函數，證明見解析【解析】（1）又函數為奇函數可得，結合求得，即可得出答案；（2）令，利用作差法判斷的大小，即可得出結論.【小問1詳解】解：因為函數是定義在區間上的奇函數，所以，即，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】解：增函數，證明如下：令，則，因為，所以，，所以，即，所以函數在區間上遞增.17、（1）；（2）.【解析】（1）根據已知條件求得，再用整體法求函數單調增區間即可；（2）根據（1）中所求函數單調性，結合函數的值域，即可求得參數的值.【小問1詳解】因為函數最小正周期為，故可得，解得，則，令，解得.故的單調增區間是：.【小問2詳解】因為，由（1）可知，在單調遞增，在單調遞減，又，，，故方程在上有且只有一個解，只需.故實數的取值范圍為.18、（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】（1）由滿足性質可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）設滿足，利用零點存在定理證明關于的方程至少有兩個解，證明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和；（3）分別討論，，時函數的零點的存在性，由此完成證明.【小問1詳解】因為滿足性質，所以對于任意的x，恒成立.又因為，所以，，，由可得，由可得，所以，.【小問2詳解】若正數滿足，等價于，記，顯然，，因為，所以，，即.因為的圖像連續不斷，所以存在，使得，因此，至少存在兩個不等的正數，使得函數同時滿足性質和.【小問3詳解】若，則1即為零點；因為，若，則，矛盾，故，若，則，，，可得.取即可使得，又因為的圖像連續不斷，所以，當時，函數上存在零點，當時，函數在上存在零點，若，則由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因為的圖像連續不斷，所以，當時，函數在上存在零點，當時，函數在上存在零點，綜上，函數存在零點.19、（1）（2）或【解析】（1）根據對稱軸以及判別式等于得出，再由基本不等式得出函數的值域；（2）利用換元法結合對數函數以及二次函數的單調性得出a的值【小問1詳解】依題意得，因為，所以，解得，，故，，當時，，當且僅當，即時，等號成立當時，，當且僅當，即時，等號成立故的值域為【小問2詳解】，令，則①當時，，因，所以，解得因為，所以，解得或（舍去）②當時，，因為，所以，解得，解得或（舍去）綜上，a的值為或20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接,設,連接EF,EO,利用中位線和正方體的性質證明四邊形是平行四邊形,進而可證平面；（2）由平面可得點F,到平面的距離相等,則,進而求得三棱錐的體積即可【詳解】（1）證明：連接,設,連接EF,EO,因為E,F分別是棱的中點,所以,,因為正方體,所以,,所以,,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面（2）由（1）可得點F,到平面的距離相等,所以,又三棱錐的高為棱長,即,,所以.所以【點睛】本題考查線面平行的證明,考查三棱錐的體積,考查轉化思想21、(1)；（2）①