專題1.4角平分線1.會敘述角平分線的性質及判定；2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質定理，理解和掌握角平分線性質定理和它的逆定理，能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題；3.會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”；4.經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力．知識點01角平分線的性質與判定【知識點】角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；角平分線的判定：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；輔助線的添加：過角平分線上一點向兩邊作垂線段。【知識拓展1】利用角平分線的性質求面積（長度）例1．（2022春·遼寧撫順·八年級階段練習）如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【即學即練】1．（北京市燕山區2022-2023學年八年級上學期期末質量監測數學試卷）如圖，中，是邊的高線，平分，，，則的面積是（

）A． B． C． D．【知識拓展2】利用角平分線的性質求角度例1．（2022春·安徽阜陽·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，平分，，，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【即學即練】2．（2022春·河北邢臺·八年級校考階段練習）兩把相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點為，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長．若，則的度數為（）A．6 B．5 C．5 D．4【知識拓展3】角平分線的相關最值問題例3．（2022春·山東臨沂·八年級統考期中）如圖，四邊形中，，，連接，，垂足是且，點是邊上的一動點，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【即學即練】3．（2022春·成都市·八年級階段練習）如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．【知識拓展4】角平分線的判定例4．（2022春·山東臨沂·八年級統考期中）如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”這樣說的依據是（

）A．全等三角形的對應角相等B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形角平分線的相交于一點D．角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【即學即練4】4．（2022春·河北邯鄲·八年級校考階段練習）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【知識拓展5】尺規作圖與相關計算、證明例5．（2022春·廣東廣州·八年級校考期末）如圖，已知中，，．(1)請用尺規作圖作的角平分線；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)過點C作交的延長線于點E，求證：．【即學即練4】5．（2022春·吉林長春·八年級期末）如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點和，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若，則點到邊的距離是(

)A． B． C． D．【知識拓展6】角平分線的綜合運用例6．（2022春·湖北荊州·八年級統考期中）如圖，在中，，D為邊上一點，且，，過點D作于F，作的平分線分別交，于H，G，連接，得到如下結論，①，②，③，④平分，其中正確的是（

）A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③④【即學即練6】6．（北京市大興區2022~2023學年八年級上學期數學期末檢測試卷）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個結論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結論的序號是___________．知識點02三角形的角平分線【知識點】三角形角平分線定理：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.應用：位置的選擇問題【知識拓展1】三角形的角平分線的應用例1．（2022·山東濱州·八年級月考）如圖，是三條兩兩相交的公路，現需建一個倉庫，要求倉庫到三條公路距離相等，則倉庫的可能地址有（）處．A． B． C． D．【即學即練1】1．（2022·湖南·長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校二模）如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區域，某地區決定在這個三角形區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（

）A．三個角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點【知識拓展2】角平分線定理例2．（2022春·湖北荊門·八年級校聯考期中）如圖，在中，是它的角平分線，．(1)求的值；(2)求證：；(3)求的長．【即學即練2】2．（2022春·廣東江門·八年級校考階段練習）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．（3）類比應用：如圖3，平分，，，求證：．【知識拓展3】三角形的角平分線（內心）例3．（2022·福建福州·八年級福州日升中學校考期中）如圖，O是△ABC的角平分線的交點，△ABC的面積和周長都為24，則點O到BC的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即學即練3】3．（2022·山東棗莊·八年級統考期末）如圖，的兩直角邊、的長分別是9、12．其三條角平分線交于點，將分為三個三角形，則等于（

）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4題組A基礎過關練1．（2022春·北京海淀·八年級期末）如圖，三條公路把A、B、C三個村莊連成一個三角形區域，某地區決定在這個三角形區域內修建一個集貿市場，使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（

）A．在、兩邊高線的交點處 B．在、兩內角平分線的交點處C．在、兩邊中線的交點處 D．在、兩邊垂直平分線的交點處2．（2022秋·陜西西安·八年級考階段練習）如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（）A． B． C．1 D．3．（2022春·北京朝陽·八年級校考期中）如圖，是的角平分線，、分別是和的高，則下列說法正確的是（

）A．垂直B．平分C．垂直平分D．垂直平分4．（2022春·八年級課時練習）如圖，從內一點出發，把剪成三個三角形(如圖1)，邊放在同一直線上，點都落在直線上（如圖2），直線，則點是的（

）A．三條角平分線的交點B．三條高的交點C．三條中線的交點D．三邊中垂線的交點5．（2022春·四川成都·八年級統考期末）如圖，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，則EM＝_____．6．（2022春·吉林長春·八年級期末）如圖，在中，、分別平分和，于點D，，若的面積為25，的周長則為___________．7．（2022春·上海·八年級上海市民辦立達中學校考階段練習）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點，則__________度．8．（2022春·廣東梅州·八年級校考階段練習）數學閱讀：古希臘數學家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形的面積為，其中，這個公式稱為“海倫公式”．數學應用：如圖，在中，已知，，．(1)請運用海倫公式求的面積；(2)若，為的兩條角平分線，它們的交點為，求的面積．9．（2022春·廣東惠州·八年級校考階段練習）請回答下列問題：(1)已知：和內一點．求作：點，使，且點到的兩邊，的距離相等．(2)如圖，已知及點，，求作點，使得到，的距離相等，且．10．（2022春·福建廈門·八年級校考期中）在內有一點D，過點D分別作，，垂足分別為B，C．且，點E，F分別在邊和上．(1)如圖1，若，請說明點D在的角平分線上．(2)如圖2，若，，，猜想，，具有的數量關系，并說明你的結論成立的理由．11．（2022春·江蘇揚州·八年級階段練習）如圖，已知．(1)用直尺和圓規按照下列要求作圖：作的角平分線；（保留作圖痕跡，標出必要的字母，不要求寫作法）；(2)過點畫射線，使，交的延長線與點，過點畫，垂足為，圖中相等嗎？證明你的結論．12．（2023·遼寧大連·八年級統考期中）如圖，點M，N是內部兩點．尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．(1)作：(2)作的平分線：(3)求作點P，使，且點P到，的距離相等．題組B能力提升練1．（2022春·江蘇·八年級期中）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．72．（2022·廣東廣州·八年級期中）如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點D，交AB的延長線于點E，于點F，現有下列結論：①；②；③平分；④．其中正確的有（

）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④3．（2022春·云南昭通·八年級統考期中）如圖，在中，P，Q分別是，上的點，作，，垂足分別為M，N，若，，則下列結論：①平分；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022春·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，點在線段上（不與點，重合），在的上方分別作和，且，，，連接，交于點，下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．連接，則平分5．（2022春·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，任意畫一個的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點P，連接，有以下結論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（2022春·吉林·八年級期末）如圖，中，，，，，平分，如果點P，點Q分別為，上的動點，那么的最小值是______．7．（2022·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則：：___________8．（2022?壽陽縣八年級期末）如圖，點在的平分線上，，于，點在上，且，若是上的動點，則的最小值是．9．（2022春·天津濱海新·八年級校考期中）如圖，四邊形中，，點為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)探究：線段、、之間的數量關系，并證明．10．（2022春·湖北武漢·八年級校考期中）四邊形中，平分．(1)如圖1，若，E是的中點，求證：平分；(2)如圖2，若平分，求證：E是的中點；(3)在（2）的條件下，若，求四邊形的面積．11．（2022春·遼寧大連·八年級期末）如圖：點C在射線上，，且．(1)實踐與操作：利用圓規和直尺，①以點B為圓心為半徑畫弧交射線于點E，連接；②作的平分線分別交于F，交于G（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）．(2)猜想與證明：試猜想線段與的數量關系，并加以證明．題組C培優拔尖練1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在中，，的平分線交于點，過點作于點，交于點，過點作于點．下列結論中正確的個數是（

）①；②；③；④A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④2．（2022春·天津·八年級校考期中）如圖，在和中，，，，．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論，其中錯誤的是（

）A． B． C．MO平分 D．OM平分3．（2022·山東臨沂·八年級期中）如圖，已知AC平分∠BAD，于點E，．有下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號是______．4．（2022春·北京大興·八年級統考期中）如圖，與都是等邊三角形，和相交于點，連接下面結論中，；；不是的平分線；所有正確結論的序號是______．5．（2022春·安徽淮北·八年級校考階段練習）如圖，和中，，，，連接，，與交于點M，與交于點N．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接，有以下兩個結論：①平分；②平分．其中正確的有．6．（2022春·廣東東莞·八年級校考期中）如圖，，，，，交于點，若點在上．(1)，求的度數；(2)求證平分；(3)連接，求證：．7．（2022春·湖南長沙·八年級長沙縣湘郡未來實驗學校校考階段練習）如圖，在中，，點P是邊上的一點，，且，點C關于直線的對稱點為D，連接，的邊上的高為．(1)求的大小；(2)判斷直線，是否平行？并說明理由；(3)求證：．8．（2022秋·湖南長沙·八年級湖南師