第1章集合1.3交集、并集集合A在集合S中的補(bǔ)集?UA是由給定的兩個(gè)集合A，S得到的一個(gè)新集合.這種由兩個(gè)給定集合按照某種規(guī)則得到一個(gè)新集合的過程稱為集合的運(yùn)算.集合的交與并也是常見的兩種集合運(yùn)算.觀察下列各組集合：(1)A＝{－1，1，2，3}，B＝{－2，－1，1}，C＝{－1，1}；(2)A＝{x∣x＜3}，B＝{x∣x＞0}，C＝{x∣0＜x≤3}；(3)A＝{x∣x為矩形}，B＝{x∣x為菱形}，C＝{x∣x為正方形}.●集合A，B，C之間具有怎樣的關(guān)系?●如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述這種關(guān)系?觀察(1)，可以發(fā)現(xiàn)，1∈A且1∈B，即元素1既屬于集合A又屬于集合B.這樣的元素還有－1.所有這樣的元素構(gòu)成的集合就是C＝{－1，1}.(2)(3)也具有這種特征.這時(shí)稱C是A與B的交集.一、交集定義文字語(yǔ)言由所有屬于集合A____屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，記作_______作(“A交B”)且A∩B符號(hào)語(yǔ)言_______＝{x∣x∈A，____x∈B.且A∩B圖形語(yǔ)言A∩B可用圖中的陰影部分來(lái)表示.顯然有A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.思考A∩B＝A可能成立嗎?A∩B＝?可能成立嗎?本質(zhì)由A、B兩個(gè)集合確定一個(gè)新的集合，此集合是A、B中的公共元素組成的集合，這個(gè)集合中的元素同時(shí)具有集合A和集合B的屬性.作用①依據(jù)定義求兩個(gè)集合的交集；②求參數(shù)的值或范圍.二、并集交集A∩B是由給定的兩個(gè)集合A，B經(jīng)過“運(yùn)算”而得到的新集合，這種運(yùn)算稱為“交”.而集合間另一種稱為“并”的運(yùn)算也十分常見.觀察集合A＝{－1，1，2，3}，集合B＝{－2，－1，1}，集合D＝{－2，－1，1，2，3}，可以發(fā)現(xiàn)，集合D是由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的.這時(shí)，D稱為A與B的并集.定義文字語(yǔ)言由所有屬于集合A______屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作_______(讀作“A并B”).或者A∪B符號(hào)語(yǔ)言_______＝{x∣x∈A，____x∈B.或A∪B圖形語(yǔ)言A∪B可用圖中的陰影部分來(lái)表示.顯然有A∪B＝B∪A，A?B∩A，A?B∩

B.思考A∪B＝A可能成立嗎?A∪?UA是什么集合??本質(zhì)由A、B兩個(gè)集合確定一個(gè)新的集合，此集合是所有A、B中的元素組成的集合，這個(gè)集合中的元素至少具有集合A或集合B的屬性之一.作用①依據(jù)定義求兩個(gè)集合的并集；②求參數(shù)的值或范圍.【思考】“x∈A或x∈B”包含哪幾種情況?如何用Venn圖表示?提示：“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況：

x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；

x∈A，且x∈B.用Venn圖表示如圖所示.三、交集、并集的性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.A∪B＝B∪A，A?B∩A，A?B∩

B.例1已知A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求A∩B和A∪B.解：A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}；A∪B＝{－1，0，1}∪{－1，0，1，2，3}

＝{－1，0，1，2，3}.例2學(xué)校舉辦了排球賽，高一(1)班45名同學(xué)中有12名同學(xué)參賽.后來(lái)又舉辦了田徑賽，班上有20名同學(xué)參賽已知兩項(xiàng)都參賽的有6名同學(xué).兩項(xiàng)比賽中，高一(1)班共有多少名同學(xué)沒有參加過比賽?解：設(shè)U＝{x∣x為高一(1)班的同學(xué)}，A＝{x∣x為參加排球賽的同學(xué)}，B＝{x∣x為參加田徑賽的同學(xué)}，則A∩B＝{x∣x為排球賽和田徑賽都參加的同學(xué)}.畫出Venn

圖：可知沒有參加過比賽的同學(xué)有45－(12＋20－6)＝19(名).答這個(gè)班共有19名同學(xué)沒有參加過比賽.例3設(shè)A＝{x∣x＞0}，B＝{x∣x≤1}，求A∩B和A∪B.解A∩B＝{x∣x＞0}∩{x∣x≤1}＝{x∣0＜x≤1}；A∪B＝{x∣x＞0}∪{x∣x≤1}＝R.四、區(qū)間的概念為了敘述方便，在以后的學(xué)習(xí)中，我們常常會(huì)用到“區(qū)間”的概念設(shè)a，b∈R，且a

＜b，規(guī)定：(表中a，b∈R，且a＜b)閉區(qū)間符號(hào)_________＝{x∣a≤x≤b}圖示

開區(qū)間符號(hào)__________＝{x∣a＜x＜b}圖示

[a，b](a，b)左閉右開區(qū)間符號(hào)____________＝{x∣a≤x＜b}圖示

左開右閉區(qū)間符號(hào)_________＝{x∣a＜x≤b}圖示[a，b)(a，b]符號(hào)“＋∞”讀作“正無(wú)窮大”，符號(hào)“－∞”

讀作“負(fù)無(wú)窮大”符號(hào)__________＝{x∣x＞a}圖示

符號(hào)___________＝{x∣x＜b}圖示

符號(hào)_____________＝R(a，＋∞)(－∞，b)(－∞，＋∞)[a，b]，(a，b)分別叫作閉區(qū)間、開區(qū)間；[a，b)叫作左閉右開區(qū)間，(a，b]叫作左開右閉區(qū)間；a，b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“?”，錯(cuò)的打“?”)(1)若A，B中分別有3個(gè)元素，則A∪B中必有6個(gè)元素.(

)?當(dāng)A，B有公共元素時(shí)，A∪B中元素個(gè)數(shù)小于6.(2)若A∩B＝?，則A＝B＝?. (

)(3)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，若A∩B＝A∪B，

則A＝B.(

)(4)若x∈A∩B，則x∈A∪B. (

)???2.已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，

則A∩B＝(

).A.{0，2}B.{1，2}C.{0}D.{－2，－1，0，1，2}A【拓展延伸】集合交、并、補(bǔ)的性質(zhì)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B);(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B).證明如下:用Venn圖表示(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，有用Venn圖表示(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)有：【跟蹤訓(xùn)練】1.已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x∣x2－x－2＝0}，則A∩B＝(

)A.? B.{2}

C.{0}D.{－2}B解析：因?yàn)锽＝{x∣x2－x－2＝0}＝{－1，2}，A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}.解析2.已知集合A＝(－∞，1)，B＝(－∞，0)，則(

).A.A∩B＝(－∞，0) B.A∪B＝RC.A∪B＝(1，＋∞) D.A∩B＝?、A解析：因?yàn)锳＝(－∞，1)，B＝(－∞，0)，

則A∩B＝(－∞，0)，A∪B＝(－∞，1).解析3.設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，

則(A∩B)∪C＝_______________.

{1，2，3，4}解析：因?yàn)锳＝{1，2}，B＝{1，2，3}，

所以A∩B＝{1，2}.又C＝{2，3，4}，

所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}.解析4.已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a＋1}，

若A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a的值為_________.

2解析：因?yàn)榧螦＝{1，2，4}，B＝{a，a＋1}，A∩B＝{2}所以a＝2或a＋1＝2，當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，成立；

當(dāng)a＋1＝2時(shí)，a＝1，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}，不成立；

綜上，實(shí)數(shù)a的值為2.解析5.已知全集U＝R，A＝{x|－3＜x≤5}，

B＝{x|－5＜x＜－2或x＞5}，

分別求A∩B，A∪B，A∪?UB.借助數(shù)軸可知A∩B＝{x|－3＜x＜－2}，A∪B＝{x|x＞－5}，A∪?UB＝{x∣x≤－5或－3＜x≤5}.練習(xí)1.已知A＝{x∣x

為小于7的正偶數(shù)}，B＝{－2，0，2，4}，求A∩B和A∪B.解：A∩B＝{2，4}；A∪B＝{－2，0，2，4，6}.2.設(shè)U為全集，若A為的子集，則A∩A＝___________，A∪A＝____________，A∩?＝___________，A∪?＝____________，A∩?UA＝_________，A∪?UA＝__________.AA?A?U3.根據(jù)下列條件，分別求A∩B，A∪B.(1)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，4}；(2)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}；A∩B＝{－1，0}，A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}.A∩B＝{－1，0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.(3)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，1，2，3}；(4)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝?.A∩B＝{－1，0，1，2，3}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.A∩B＝?，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.4.根據(jù)下列條件，分別求A∩B，A∪B.(1)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x≤0}；(2)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x＜2}；A∩B＝{0}，A∪B＝R；A∩B＝{x∣0≤x＜2}，A∪B＝R.(3)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x＞2}.A∩B＝{x＞2}，A∪B＝{x∣x≥0}.5.設(shè)A＝{(x，y)∣y＝－4x＋61}，B＝{(x，y)∣y＝5x－31}，求A∩B.解：A∩B，即A＝B，－4x＋6＝5x－3，x＝1，y＝2.所以A∩B＝{(x，y)∣x＝1，y＝2}.6.設(shè)A＝{x∣x＝2k－1，k∈Z，B＝{x∣x＝2k，k∈Z}，

求A∩B，A∪B.解：A∩B無(wú)解，A∪B＝{x∣x∈Z，k∈Z}.習(xí)題1.2感受·理解1.填表：∩?AB????A?AA∩BB?B∩AB∪?AB??ABAAAA∪BBBB∪AB∩?A?UA????A?AU?UA?U?UA∪?A?UA??A?UAAAAU?UA?UAU?UA2.已知A＝(－1，3]，B＝[2，4)，求A∩B.解：由數(shù)軸可得A∩B＝[0，2]，3.已知A＝(0，1]，B＝[－1，0]，求A∪B.解：A∪B＝[－1，1]4.已知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{2，4，6，8}.(1)B?A成立嗎?A?B成立嗎?(2)求A∩B和A∪B.B?A成立；A?B不成立.A∩B＝B＝{2，4，6，8}A∪B＝A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}5.

已知A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，C＝{1，5，6}，

求

A∩(B∩C)

和(A∪B)∪C.解：B∩C＝{1}，故A∩(B∩C)＝{1}；A∪B＝{1，2，3，4}，

故(A∪B)∪C＝{1，2，3，4，5，6}.6.已知A＝{x∣x

≤0}，B＝{

x∣x≤1}，求A∩B，并

判斷A與B之間的關(guān)系.解：A∩B＝{x∣x

≤0}＝A，故A?B.7.在平面內(nèi)，設(shè)A，B，O均為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，下列

集合分別表示什么圖形？(1){P∣PA＝PB}；(2){P∣PO＝1}.線段AB的垂直平分線；以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓.8.某班級(jí)有三個(gè)微信群，文學(xué)群成員有：梅、蘭、竹、

桂、松、柳，數(shù)學(xué)群成員有梅、竹、松、楓、楊、樺，

音樂群成員有：蘭、菊、荷、桂、松、柳.用集合表

示三個(gè)群的成員.解：由題意，文學(xué)群成員用集合表示為：{梅，蘭，竹，桂，松，柳}.數(shù)學(xué)群成員用集合表示為：{梅，竹，松，楓楊，樺}.

音樂群成員用集合表示為：{蘭，菊，荷，桂松，柳}.9.寫出陰影部分所表示的集合.解：第一個(gè)圖，陰影部分在集合B中，但不在集合A中，所以可以表示為B∩(?UA).第二個(gè)圖陰影部分既在集合A中，也在集合B中又在集合C中，所以可以表示為A∩B∩C.思考·運(yùn)用10.(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，4}，求?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)；解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，

B＝{1，4}∴A∪B＝{1，2，3，4，5},∴?U(A∪B)＝{6}；∵?UA＝{1，4，6}，?UB＝{2，3，5，6}，∴(?UA)∩(?UB)＝{6}；綜上所述，結(jié)論是：?U(A∪B)＝{6}，

(?UA)∩(?UB)＝{6}.(2)在下圖中用陰影表示?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)；∵?U(A∪B)＝{6}，(?UA)∩(?UB)＝{6}.∴?U(A∪B)(?UA)∩(?UB)UU(3)由(1)(2)，你有什么發(fā)現(xiàn)?解：由(1)知?U(A∪B)＝{6}，(?UA)∩(?UB)＝{6}.∴?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)由(2)知?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)的圖像相同.∴?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)

綜上所述，結(jié)論是：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)11.已知U＝R，A＝{x∣l≤x≤3}，B＝{x∣2＜x＜4}，

分別求A∩B，A∪B，A∪?UB.解：∵A＝{x∣1≤x≤3}，B＝{x∣2＜x＜4}.∴?UB＝{x∣x≤2或x

≥4}，

∴

A∩B＝{x∣2＜x≤3}，

A∪(?UB)＝{x∣x

≤3或x≥4.12.設(shè)m為實(shí)數(shù)，A＝{m＋1，－3}，B＝{2m－1，m－3}.

若A∩B＝(－3)，求m的值.解：因?yàn)锳∩B＝{－3}，

所以－3∈B，

當(dāng)2m

－1＝－3，即m

＝－1時(shí)，

m

－3＝－1－3＝－4，

m

＋1＝－1＋1＝0，所以A＝{0，3}，B＝{－4，

－3}滿足A∩B＝{－3}，所以m

＝－1；當(dāng)m

－3＝－3，即m

＝0時(shí)，2m－1＝2×0－1＝－1，

m

＋1＝0＋1＝1，所以A＝{1，－3}，B＝{－1，

－3}，滿足A∩B＝{－3}，所以m

＝0.綜上，m＝－1或m＝0.探究·拓展13.(探究題)我們知道，如果集合A?S那么S的子集A

的補(bǔ)集為?SA＝{x∣x∈S，且x?A}.類似地，對(duì)于

集合A，B，我們把集合{x∣x∈A，且x?B}叫作

集合A與B的差集，記作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，則有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}.據(jù)此，試回答下列問題：(1)S是高一(1)班全體同學(xué)的集合，是高一(1)班全體女同學(xué)的集合，求S－A及?SA；解：如果集合A?B，那么S的子集A的補(bǔ)集為

?S

A＝{x∣x∈S，且x?A}.A對(duì)于集合A，B，我們把集合{x∣x∈A，且x∈B}叫作集合A與B的差集，記作A－B.已知S是高一(1)班全體同學(xué)的集合，A是高一(1)班全體女同學(xué)的集合.由題意可得：S－A＝?SA＝{x∣x是高一(1)班的男同學(xué)}.綜上所述，結(jié)論為：S－A＝?SA＝{x∣x是高一(1)班的男同學(xué)}.(2)在下列各圖中用陰影表示集合A－B；

(3)如果A－B＝?，集合A與B之間具有怎樣的關(guān)系?解：如果A－B＝?，

那么集合A與B之間的關(guān)系為