專題3.3函數的奇偶性與周期性新課程考試要求1．理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性，了解函數的周期性.核心素養培養學生數學抽象（例5.6.14.15）、數學運算（例3等）、邏輯推理（例2）、直觀想象（例9.10）等核心數學素養.考向預測1.判斷函數的奇偶性與周期性；2.函數的奇偶性、周期性，通常與抽象函數、函數的圖象以及函數的單調性結合考查，常結合三角函數加以考查，有時與數列結合考查周期數列相關問題．【知識清單】1．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2．函數的周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.【考點分類剖析】考點一：函數奇偶性的判斷【典例1】【多選題】（2020·浙江杭州市·杭州高級中學高一月考）已知函數SKIPIF1<0的定義域都是R，且SKIPIF1<0是奇函數，SKIPIF1<0是偶函數，則（）A．SKIPIF1<0是奇函數 B．SKIPIF1<0是奇函數C．SKIPIF1<0是偶函數 D．SKIPIF1<0是偶函數【答案】AD【解析】由奇偶性的定義逐一證明即可.【詳解】對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數，故B錯誤；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數，故C錯誤；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數，故D正確；故選：AD【典例2】【多選題】（2021·浙江高一期末）下列函數中是偶函數，且在SKIPIF1<0為增函數的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，偶函數，且在SKIPIF1<0為增函數，符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不是偶函數，不符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數，在SKIPIF1<0上為增函數，故在SKIPIF1<0為增函數，符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數，且在SKIPIF1<0為增函數，符合題意；故選：SKIPIF1<0．【知識拓展】(1)奇、偶函數定義域的特點．由于f(x)和f(－x)須同時有意義，所以奇、偶函數的定義域關于原點對稱．這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數的對應關系的特點．①奇函數有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數奇偶性的三個關注點．①若奇函數在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結論來否定一個函數為奇函數；②既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空集合；③函數根據奇偶性可分為奇函數、偶函數、既奇又偶函數、非奇非偶函數．(4)奇、偶函數圖象對稱性的應用．①若一個函數的圖象關于原點對稱，則這個函數是奇函數；②若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數．【變式探究】1.（2019·天津耀華中學高三月考）下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知和為奇函數，為偶函數.令，則，即且.所以為非奇非偶函數.故選D.2.（2021·上海高三二模）設SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0圖象經過點SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是偶函數”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】C【解析】直接利用函數奇偶性的定義進行判定，結合充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】若函數SKIPIF1<0圖象經過點SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為偶函數．若SKIPIF1<0為偶函數，①SKIPIF1<0時為奇函數，②SKIPIF1<0時為非奇非偶函數，③SKIPIF1<0時為偶函數，∴若SKIPIF1<0為偶函數時，SKIPIF1<0∴函數SKIPIF1<0圖象經過點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為偶函數的充要條件．故選：C．考點二：函數奇偶性的應用【典例3】（2019·全國高考真題（文））設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)=，則當x<0時，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函數，x≥0時，．當時，，，得．故選D．【典例4】（2021·黑龍江哈爾濱三中高三三模（文））已知函數SKIPIF1<0為奇函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由奇函數對稱性可得SKIPIF1<0，代入已知解析式解得SKIPIF1<0.【詳解】SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0為奇函數，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【典例5】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三三模（理））已知實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，構造函數SKIPIF1<0，由函數的奇偶性單調性，計算即可得出結果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調遞增的奇函數，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4【總結提升】函數奇偶性的應用(1)求函數解析式①將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉化后的自變量代入已知解析式；③利用函數的奇偶性求出解析式．(2)求參數值在定義域關于原點對稱的前提下，根據奇函數滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據等式兩側對應相等確定參數的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數的定義域中包含0，可以根據f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．【變式探究】1.（2019·江西江西師大附中高三高考模擬（文））若函數為奇函數，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數當時，又時，本題正確選項：2.【多選題】（2021·全國高一課時練習）設f(x)為偶函數，且在區間(-∞，0)內單調遞增，f(-2)=0，則下列區間中使得xf(x)<0的有（）A．(-1，1) B．(0，2)C．(-2，0) D．(2，4)【答案】CD【解析】由偶函數的性質以及f(-2)=f（2）=0畫出函數f(x)的草圖，由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，結合圖象得出解集.【詳解】根據題意，偶函數f(x)在(-∞，0)上單調遞增，又f(-2)=0，則函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，且f(-2)=f（2）=0，函數f(x)的草圖如圖又由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由圖可得-2<x<0或x>2即不等式的解集為(-2，0)∪(2，+∞).故選：CD3.（2021·上海高三二模）已知函數SKIPIF1<0為奇函數，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用奇函數的性質，代入1和-1，即可求得函數值.【詳解】由題知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0考點三：函數周期性及其應用【典例6】（2021·廣德市實驗中學高三月考（文））已知對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據已知條件先分析出SKIPIF1<0為周期函數并求解出周期，然后根據周期性將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0進行計算即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為周期函數且一個周期為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故選：B.結論點睛：結論點睛：周期性常用的幾個結論如下：（1）SKIPIF1<0對SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個周期；（2）SKIPIF1<0對SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個周期；（3）若SKIPIF1<0為偶函數，其圖象又關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個周期的周期函數；（4）若SKIPIF1<0為奇函數，其圖象又關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個周期的周期函數.【典例7】（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數SKIPIF1<0的圖象連續不斷，有下列四個命題：甲：SKIPIF1<0是奇函數；乙：SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱；丙：SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞減；丁：函數SKIPIF1<0的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由函數的奇偶性、周期性、對稱性之間的相互關系可知，甲、乙、丁三者中必有一個錯誤，結合連續函數單調性的特征可知，丙、丁互相矛盾，進而可得結果.【詳解】由連續函數SKIPIF1<0的特征知：由于區間SKIPIF1<0的寬度為2，所以SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞減與函數SKIPIF1<0的周期為2相互矛盾，即丙、丁中有一個為假命題；若甲、乙成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的周期為4，即丁為假命題.由于只有一個假命題，則可得該命題是丁，故選：D.【典例8】（2020·四川省石室中學高三一模（文））已知是定義域為的奇函數，滿足,若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數是定義域為的奇函數，所以，且，又由，即，進而可得，所以函數是以4為周期的周期函數，又由，可得，，則，所以．故選C．【規律方法】1．求函數周期的方法求一般函數周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．3．根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．【變式探究】1.（2020·六盤山高級中學高三三模（文））奇函數的定義域為R，若為偶函數，且，則＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】由題意，奇函數的定義域為R，若為偶函數，則，即，則，即是周期為4的周期函數，，，則，故選：B．2.（2019·廣東高考模擬（文））已知f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(1+x)=f(1?x)，且f(1)=a，則f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．?a C．a D．3a【答案】B【解析】因為函數f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，所以f(x)關于直線x=1對稱，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(?1)又f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1?x)可得f(x+1)=f(1?x)=?f(x?1)，所以f(x+2)=?f(x)，故f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，因此，函數f(x)是以4為周期的周期函數，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(?1)+f(0)=?f(1)=?a.故選B3.（2019·山東高考模擬（文））已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（）A．2019 B．0 C．1 D．-1【答案】B【解析】由得：的周期為又為奇函數，，，即：本題正確選項：考點四：函數性質的綜合應用【典例8】（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學高三二模（文））已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數，且滿足SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數列，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】利用函數的對稱性首先求出函數SKIPIF1<0是以2為周期的函數，且SKIPIF1<0，而數列的通項公式為SKIPIF1<0，則可將所求轉化為SKIPIF1<0，再根據函數的奇偶性可得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，即可求得結果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2為周期的函數，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵數列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函數是定義在R上的偶函數，且在區間單調遞增，若實數a滿足，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以，則為，因為函數在區間上單調遞增，所以，解得，則a的取值范圍是，故選：C.【典例10】【多選題】（2020·山東省高三其他）已知偶函數滿足，則下列說法正確的是（）．A．函數是以2為周期的周期函數 B．函數是以4為周期的周期函數C．函數為奇函數 D．函數為偶函數【答案】BC【解析】對于選項,∵函數為偶函數，∴．∵，∴，則，即，∴，故函數是周期為4的周期函數，由此可知選項A錯誤，選項B正確；對于選項,令，則．在中，將換為，得，∴，∴，則函數為奇函數，所以選項C正確．對于選項,由題意不妨取滿足條件的函數，則為奇函數，所以選項D錯誤．故選：BC.【典例11】（2020·重慶高三其他（文））定義在R上的奇函數滿足：，且當時，，若，則實數m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由為奇函數知，∴，即，∴，∴是周期為3的周期函數，故，即，∴.故選：B.【典例12】（2021·湖南高三三模）函數SKIPIF1<0的定義域為D，對D內的任意SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為非減函數．已知SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的非減函數，且滿足：①對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②對任意SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值為________．【答案】2【解析】分析所給條件，得到SKIPIF1<0的函數圖像在SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，再由任意SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為非減函數即可求得SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，據此即可得解.【詳解】根據題意，由對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的函數圖像在SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又因為對任意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的非減函數，所以當SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0的函數圖像關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：2.【規律方法】函數性質綜合應用問題的常見類型及解