3.3.2簡單的線性規劃問題（一）xyo可行域上的最優解問題1:

某工廠用A,B兩種配件生產甲,乙兩種產品,每生產一件甲種產品使用4個A配件耗時1h,每生產一件乙種產品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天工作8小時計算,該廠所有可能的日生產安排是什么?

若生產1件甲種產品獲利2萬元,生產1件乙種產品獲利3萬元,采用哪種生產安排利潤最大?32利潤(萬元)821所需時間1240B種配件1604A種配件資源限額

乙產品

(1件)甲產品

(1件)產品消耗量資源把問題1的有關數據列表表示如下:設甲,乙兩種產品分別生產x,y件,將上面不等式組表示成平面上的區域,區域內所有坐標為整數的點P(x,y),安排生產任務x,y都是有意義的.0xy4348設甲,乙兩種產品分別生產x,y件,由己知條件可得:問題：求利潤2x+3y的最大值.0xy4348若設利潤為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉化為:當x,y在滿足上述約束條件時,z的最大值為多少?當點P在可允許的取值范圍變化時,0xy4348M（4，2）問題：求利潤z=2x+3y的最大值.象這樣關于x,y一次不等式組的約束條件稱為線性約束條件Z=2x+3y稱為目標函數,(因這里目標函數為關于x,y的一次式,又稱為線性目標函數

在線性約束下求線性目標函數的最值問題,統稱為線性規劃,滿足線性約束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解組成的集合叫做可行域使目標函數取得最值的可行解叫做這個問題的最優解變式：若生產一件甲產品獲利1萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？0xy4348N（2，3）變式：求利潤z=x+3y的最大值.解線性規劃問題的步驟：

（2）移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線

（3）求：通過解方程組求出最優解；

（4）答：作出答案。

（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；體驗:二、最優解一般在可行域的頂點處取得．三、在哪個頂點取得不僅與B的符號有關，而且還與直線Z=Ax+By的斜率有關．一、先定可行域和平移方向，再找最優解。

小結

本節主要學習了線性約束下如何求目標函數的最值問題正確列出變量的不等關系式,準確作出可行域是解決目標函數最值的關健

線性目標函數的最值一般都是在可行域的頂點或邊界取得.

把目標函數轉化為某一直線,其斜率與可行域邊界所在直線斜率的大小關系一定要弄清楚.xyo簡單的線性規劃問題（二）一、復習概念yx4843o

把求最大值或求最小值的的函數稱為目標函數，因為它是關于變量x、y的一次解析式，又稱線性目標函數。

滿足線性約束的解（x，y）叫做可行解。

在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題，統稱為線性規劃問題。一組關于變量x、y的一次不等式，稱為線性約束條件

由所有可行解組成的集合叫做可行域。

使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優解。可行域可行解最優解二.回顧解線性規劃問題的步驟

（2）移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線

（3）求：通過解方程組求出最優解；

（4）答：作出答案。

（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；[練習]解下列線性規劃問題：求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件：xOyABCy=xx+y=1y=-12x+y=0B:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3

目標函數：Z=2x+y例1、一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t。現庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎上生產這兩種混合肥料。列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域。并計算生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？解：設x、y分別為計劃生產甲、乙兩種混合肥料的車皮數，于是滿足以下條件：xyo解：設生產甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產生利潤Z萬元。目標函數為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：

把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。xyo

由圖可以看出，當直線經過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。答：生產甲種、乙種肥料各

2車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤為3萬元。M

容易求得M點的坐標為（2，2），則Zmax＝3例2、制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損.

某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損率分別為30﹪和10﹪.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

【解題回顧】要能從實際問題中，建構有關線性規劃問題的數學模型.關鍵求出約束條件和目標函數.解：設投資方對甲、乙兩個項目各投資x、y萬元依題意線性約束條件為：目標函數為：作出可行域可知直線Z=x+0.5y通過點A時利潤最大由（萬元）答：練習題某廠擬生產甲、乙兩種適銷產品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產品都需要在A、B兩種設備上加工，在每臺A、B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，加工1件乙所需工時分別為2h,1h.A、B兩種設備每月有效使用臺時數分別為400h和500h。如何安排生產可使收入最大？解：

設每月生產甲產品x件，生產乙產品y件，每月收入為Z千元，目標函數為Z＝3x＋2y，滿足的條件是Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距有關。XYO400200250500

當直線經過點M時，截距最大，Z最大。M解方程組可得M（200，100）Z的最大值Zmax＝3x＋2y＝800（千元）故生產甲產品200件，乙產品100件，收入最大，為80萬元。小結：二元一次不等式

表示平面區域直線定界，

特殊點定域簡單的線性規劃約束條件目標函數可行解可行域最優解應用求解方法：畫、移、求、答xyo簡單的線性規劃問題（三）復習回顧：二元一次不等式

表示平面區域直線定界，

特殊點定域簡單的線性規劃約束條件目標函數可行解可行域最優解應用求解方法：畫、移、求、答例、要將兩種大小不同規格的鋼板截成A、B、C三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：規格類型鋼板類型第一種鋼板第二種鋼板A規格B規格C規格212131今需要A,B,C三種規格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少。解：設需截第一種鋼板x張、第二種鋼板y張，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*

經過可行域內的整點B(3,9)和C(4,8)且和原點距離最近的直線是x+y=12，它們是最優解.答:(略)作出一組平行直線z=x+y，目標函數z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網格線法在可行域內打出網格線，當直線經過點A時z=x+y=11.4,但它不是最優整數解，將直線x+y=11.4繼續向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直線x+y=12經過的整點是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優解.

作出一組平行直線z

=

x+y，目標函數z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當直線經過點A時z=x+y=11.4,但它不是最優整數解.作直線x+y=12x+y=12解得交點B,C的坐標B(3,9)