廣東省東莞市第四高級中學2023-2024學年數學高一上期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．是邊AB上的中點，記，，則向量A. B.C. D.2．已知函數，若關于的不等式恰有一個整數解，則實數的最小值是A. B.C. D.3．若，且則與的夾角為（）A. B.C. D.4．冪函數的圖象過點，則（）A. B.C. D.5．圓與圓有（）條公切線A.0 B.2C.3 D.46．過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則所在直線的方程為（）A. B.C. D.7．兩圓和的位置關系是A.相離 B.相交C.內切 D.外切8．設，，則（）A. B.C. D.9．已知集合，，則（）A. B.C. D.10．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函數”，則甲是乙的（）A充分但不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．經過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為__________12．命題“”的否定是__________13．函數是冪函數，且在上是減函數，則實數__________.14．已知函數的部分圖象如圖所示,則____________15．函數的單調增區間是__________16．冪函數為偶函數且在區間上單調遞減，則________，________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某籃球隊在本賽季已結束的8場比賽中，隊員甲得分統計的莖葉圖如下：（1）求甲在比賽中得分均值和方差；（2）從甲比賽得分在分以下場比賽中隨機抽取場進行失誤分析，求抽到場都不超過均值的概率18．已知函數（1）若的定義域為R，求a的取值范圍；19．已知二次函數，且是函數的零點.（1）求解析式，并解不等式；（2）若，求函數的值域20．某種樹木栽種時高度為A米為常數，記栽種x年后的高度為，經研究發現，近似地滿足，其中，a，b為常數，，已知，栽種三年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求栽種多少年后，該樹木的高度將不低于栽種時的5倍參考數據：，21．已知函數，（1）求證：為奇函數；（2）若恒成立，求實數的取值范圍；（3）解關于的不等式

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意得，∴．選C2、A【解析】將看作整體，先求的取值范圍，再根據不等式恰有一個整點和函數的圖像，推斷參數，的取值范圍【詳解】做出函數的圖像如圖實線部分所示，由，得，若，則滿足不等式，不等式至少有兩個整數解，不滿足題意，故，所以，且整數解只能是4，當時，，所以，選擇A【點睛】本題考查了分段函數的性質，一元二次不等式的解法，及整體代換思想，數形結合思想的應用，需要根據題設條件，將數學語言轉化為圖形表達，再轉化為參數的取值范圍3、C【解析】因為，設與的夾角為，，則，故選C考點：數量積表示兩個向量的夾角4、C【解析】將點代入中，求解的值可得，再求即可.【詳解】因為冪函數的圖象過點，所以有：，即.所以，故，故選：C.5、B【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為半徑為∵兩圓的圓心距∴∴兩圓相交，則共有2條公切線故選B6、B【解析】先由圓方程得到圓心和半徑，求出的長，以及的中點坐標，得到以為直徑的圓的方程，由兩圓方程作差整理，即可得出所在直線方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為，所以為兩圓的公共弦，因此兩圓的方法作差得所在直線方程為，即.故選：B.【點睛】本題主要考查求兩圓公共弦所在直線方法，屬于?？碱}型.7、B【解析】依題意，圓的圓坐標為，半徑為，圓的標準方程為，其圓心坐標為，半徑為，兩圓心的距離，且兩圓相交，故選B.8、D【解析】解出不等式，然后可得答案.【詳解】因為，所以故選：D9、B【解析】化簡集合A，由交集定義直接計算可得結果.【詳解】化簡可得，又所以.故選：B.10、D【解析】由正弦函數的單調性結合充分必要條件的定義判定得解【詳解】由x是第一象限的角，不能得到是增函數；反之，由是增函數，x也不一定是第一象限角故甲是乙的既不充分又不必要條件故選D【點睛】本題考查充分必要條件的判定，考查正弦函數的單調性，是基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】聯立方程組求得交點的坐標為，根據題意求得所求直線的斜率為，結合點斜式可得所求直線的方程.【詳解】聯立方程組，得交點，因為所求直線垂直于直線，故所求直線的斜率，由點斜式得所求直線方程為，即.故答案為：.12、【解析】特稱命題的否定.【詳解】命題“”的否定是【點睛】本題考查特稱命題的否定,屬于基礎題;對于含有量詞的命題的否定要注意兩點:一是要改換量詞,即把全稱(特稱)量詞改為特稱(全稱)量詞,二是注意要把命題進行否定.13、2【解析】根據函數為冪函數求參數m，討論所求得的m判斷函數是否在上是減函數，即可確定m值.【詳解】由題設，，即，解得或，當時，，此時函數在上遞增，不合題意；當時，，此時函數在上遞減，符合題設.綜上，.故答案為：214、①.②.【解析】分析：先根據四分之一周期求根據最高點求.詳解：因為因為點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.15、，【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數化為，利用正弦函數的單調性解不等式，可得到函數的遞增區間.詳解：，，，由，計算得出，因此函數的單調遞增區間為：，故答案為，.點睛：本題主要考查三角函數的單調性，屬于中檔題.函數的單調區間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個整體，由求得函數的減區間，求得增區間；②若,則利用誘導公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或根據復合函數的單調性規律進行求解；(2)圖象法：畫出三角函數圖象，利用圖象求函數的單調區間.16、(1).或3(2).4【解析】根據題意可得：【詳解】區間上單調遞減，，或3，當或3時，都有，，.故答案為：或3;4.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)15，32.25（2）【解析】（1）由已知中的莖葉圖，代入平均數和方差公式，可得得答案；（2）根據古典概型計算即可求解.【詳解】（1）這8場比賽隊員甲得分為：7，8，10，15，17，19，21，23故平均數為：，方差:.(2)從甲比賽得分在分以下的場比賽中隨機抽取場,共有15中種不同的取法，其中抽到場都不超過均值的為得分共6種，由古典概型概率公式得.18、（1）（2）【解析】（1）轉化為，可得答案；（2）轉化為時，利用基本不等式對求最值可得答案【小問1詳解】由題意得恒成立，得，解得，故a的取值范圍為【小問2詳解】由，得，即，因為，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立故，a的取值范圍為19、（1）；；（2）.【解析】（1）根據的零點求出，的值，得出函數的解析式，然后解二次不等式即可；（2）利用換元法，令，則，然后結合二次函數的圖象及性質求出最值.【詳解】（1）由題意得，解得所以當時，即，.（2）令,則，，當時，有最小值，當時，有最大值，故.【點睛】本題考查二次函數的解析式求解、值域問題以及一元二次不等式的解法，較簡單.解答時只要抓住二次方程、二次函數、二次不等式之間的關系，則問題便可迎刃而解.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.【解析】Ⅰ由及聯立解方程組可得；Ⅱ解不等式，利用對數知識可得【詳解】Ⅰ，，

，又，即，，聯立解得，，Ⅱ由Ⅰ得，由得，，故栽種5年后，該樹木的高度將不低于栽種時的5倍【點睛】本題考查了函數解析式的求解及對數的運算，考查了函數的實際應用問題，屬于中檔題21、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）求得的定義域，計算，與比較可得；（2）原不等式等價為對恒成立，運用基本不等