福建省莆田六中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．若直線過點且傾角為，若直線與軸交于點，則點的坐標為（）A. B.C. D.2．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．下列不等式成立的是（）A.log31C.log23<4．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A. B.C. D.5．設(shè)一個半徑為r的球的球心為空間直角坐標系的原點O，球面上有兩個點A，B，其坐標分別為（1，2，2），（2，-2，1），則（）A. B.C. D.6．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則7．一個袋中有個紅球和個白球，現(xiàn)從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率是A. B.C. D.8．若，則錯誤的是A. B.C. D.9．如圖，摩天輪上一點在時刻距離地面的高度滿足，，，，已知某摩天輪的半徑為50米，點距地面的高度為60米，摩天輪做勻速運動，每10分鐘轉(zhuǎn)一圈，點的起始位置在摩天輪的最低點，則（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為（）A.（） B.（）C.（） D.（）10．若定義在上的函數(shù)的值域為，則取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知，，，則的大小關(guān)系為A B.C. D.12．設(shè)函數(shù)滿足，當時，，則（）A.0 B.C. D.1二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知直線過兩直線和的交點，且原點到該直線的距離為，則該直線的方程為_____.14．用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x-1的零點時，第一次經(jīng)計算，可得其中一個零點x0∈(0，1)，那么經(jīng)過下一次計算可得x0∈___________(填區(qū)間).15．從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去幾年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟和日常生活中扮演著日益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數(shù)的折線圖圖（圖中的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計結(jié)果).根據(jù)上述信息下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是____①2015年這一年,高鐵運營里程數(shù)超過0.5萬公里;②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率;③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)最多的一年是2014年;④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)逐年遞增;16．過點且在軸，軸上截距相等的直線的方程為___________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（1）已知，求的最小值；（2）求函數(shù)的定義域18．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②對任意的均有；③對任意的，，均有.（1）求的值；（2）證明在上單調(diào)遞增；（3）是否存在實數(shù)，使得對任意的恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．設(shè)矩形的周長為，其中，如圖所示，把它沿對角線對折后，交于點.設(shè)，.（1）將表示成的函數(shù)，并求定義域；（2）求面積的最大值.20．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍.21．已知，（1）若，求a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍22．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，，使得成立，則稱是“躍點”函數(shù)，并稱是函數(shù)的1個“躍點”（1）求證：函數(shù)在上是“1躍點”函數(shù)；（2）若函數(shù)在上存在2個“1躍點”，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)使得函數(shù)在上有2022個“躍點”？若存在，請求出和滿足的條件；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】利用直線過的定點和傾斜角寫出直線的方程，求出與軸的交點，得出答案【詳解】直線過點且傾角為，則直線方程為，化簡得令，解得，點的坐標為故選：C【點睛】本題考查點斜式直線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】先整理圓的方程為可得圓心和半徑,再轉(zhuǎn)化問題為圓心到直線的距離小于等于,進而求解即可【詳解】由題,圓標準方程為,所以圓心為,半徑,因為圓上至少有三個不同點到直線的距離為,所以,所以圓心到直線的距離小于等于,即,解得,故選:D【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查圓的一般方程到圓的標準方程的轉(zhuǎn)化,考查數(shù)形結(jié)合思想3、A【解析】由對數(shù)的單調(diào)性直接比較大小.【詳解】因為log31=log2=log24<故選：A.4、A【解析】由圖觀察出和后代入最高點，利用可得，進而得到解析式【詳解】解：由圖可知：，，，，代入點，得，，，，，，故選．【點睛】本題考查了由的部分圖象確定其表達式，屬基礎(chǔ)題．5、C【解析】由已知求得球的半徑，再由空間中兩點間的距離公式求得|AB|，則答案可求【詳解】∵由已知可得r，而|AB|，∴|AB|r故選C【點睛】本題考查空間中兩點間距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題6、D【解析】，,故選D.考點：點線面的位置關(guān)系.7、D【解析】從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有種方法，其中取出的兩個球同色的取法有種，因此概率為選D.8、D【解析】對于，由，則，故正確；對于，，故正確；對于，，故正確；對于，，故錯誤故選D9、B【解析】根據(jù)給定信息，依次計算，再代入即可作答.【詳解】因函數(shù)最大值為110，最小值為10，因此有，解得，而函數(shù)的周期為10，即，則，又當時，，則，而，解得，所以.故選：B10、C【解析】作函數(shù)圖象，觀察圖象確定m的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象是對稱軸為，頂點為的開口向上的拋物線，當時，；當時，.作其圖象，如圖所示：又函數(shù)在上值域為，所以觀察圖象可得∴取值范圍是，故選：C.11、A【解析】利用對數(shù)的性質(zhì)，比較a,b的大小，將b,c與1進行比較，即可得出答案【詳解】令,結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì),單調(diào)遞減,，，.【點睛】本道題考查了對數(shù)、指數(shù)比較大小問題，結(jié)合相應(yīng)性質(zhì)，即可得出答案12、A【解析】根據(jù)給定條件依次計算并借助特殊角的三角函數(shù)值求解作答.【詳解】因函數(shù)滿足，且當時，，則，所以.故選：A二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、或【解析】先求兩直線和的交點，再分類討論，先分析所求直線斜率不存在時是否符合題意，再分析直線斜率存在時，設(shè)斜率為，再由原點到該直線的距離為，求出，得到答案.【詳解】由和，得，即交點坐標為，（1）當所求直線斜率不存在時，直線方程為，此時原點到直線的距離為，符合題意；（2）當所求直線斜率存在時，設(shè)過該點的直線方程為，化為一般式得，由原點到直線的距離為，則，解得，得所求直線的方程為.綜上可得，所求直線的方程為或故答案為：或【點睛】本題考查了求兩直線的交點坐標，由點到直線的距離求參，還考查了對直線的斜率是否存在分類討論的思想，屬于中檔題.三、14、【解析】根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間.【詳解】，，所以下一次計算可得.故答案為：15、②③【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)折線圖，分別進行判斷即可.【詳解】①看2014，2015年對應(yīng)的縱坐標之差小于2-1.5=0.5，故①錯誤；②連線觀察2013年到2016年兩點連線斜率更大，故②正確；③2013年到2014年兩點縱坐標之差最大，故③正確；④看相鄰縱坐標之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，故④錯誤；故答案為：②③.16、或【解析】當直線不過原點時設(shè)截距式方程；當直線過原點時設(shè),分別將點代入即可【詳解】由題,當直線不過原點時設(shè),則,所以,則直線方程為,即；當直線過原點時設(shè),則,所以,則直線方程為,即,故答案為:或【點睛】本題考查求直線方程,考查截距式方程的應(yīng)用,截距相同的直線問題,需注意過原點的情況三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）3；（2）或【解析】（1）由，利用基本不等式即可求解.（2）由題意可得，解一元二次不等式即可求解.【詳解】解：（1），，，當且僅當，即時取等號，的最小值為3；（2）由題知，令，解得或∴函數(shù)定義域為或18、（1）0；（2）詳見解析；（3）存在，.【解析】（1）利用賦值法即求；（2）利用單調(diào)性的定義，由題可得，結(jié)合條件可得，即證；（3）利用賦值法可求，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可把問題轉(zhuǎn)化為，是否存在實數(shù)，使得或在恒成立，然后利用參變分離法即求.【小問1詳解】∵對任意的，，均有，令，則，∴；【小問2詳解】，且，則又，對任意的均有，∴，∴∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，可得，令，可得，又，∴，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴由，可得或，即是否存在實數(shù)，使得或?qū)θ我獾暮愠闪ⅲ睿瑒t，則對于恒成立等價于在恒成立，即在恒成立，又當時，，故不存在實數(shù)，使得恒成立，對于對任意的恒成立，等價于在恒成立，由，可得在恒成立，又，在上單調(diào)遞減，∴，綜上可得，存在使得對任意的恒成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是配湊，然后利用條件可證；第三問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為否存在實數(shù)，使得或在恒成立，再利用參變分離法解決.19、（1），；（2）【解析】（1）由題意得，則，根據(jù)，可得，所以，化簡整理，即可求得y與x的關(guān)系，根據(jù)，即可求得x的范圍，即可得答案；（2）由（1）可得，，則的面積，根據(jù)x的范圍，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，則，因為在和中，，所以，即，所以在中，，所以，化簡可得，因為，所以，解得，所以，；（2）由（1）可得，，所以面積，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時面積，即面積最大值為【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件，表示出各個邊長，根據(jù)三角形全等，結(jié)合勾股定理，進行求解，易錯點為：利用基本不等式求解時，需滿足“①正”，“②定”，“③相等”，注意檢驗取等條件是否成立，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.20、（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】（1）由為奇函數(shù)且定義域為R,則,即可求得,進而得到解析式；設(shè),代入解析式中證得即可；（2）由奇函數(shù),可將問題轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得存在實數(shù),使成立,即為存在實數(shù),使成立,進而求解即可【詳解】解：（1）為奇函數(shù)且定義域為R,所以,即,所以,所以,所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減,設(shè),則,因為,所以,即,所以,所以,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）存在實數(shù),使成立.由題,則存在實數(shù)，使成立,因為為奇函數(shù),所以成立,又因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,所以存在實數(shù),使成立,即存在實數(shù),使成立,而當時,,所以的取值范圍是【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求解析式,考查定義法證明函數(shù)單調(diào)性,考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力21、（1）（2）【解析】(1)由即可列方程求出a的值；(2)化簡f(x)解析式，利用進行換元，將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有且只有一個零點，在上無零點進行討論.【小問1詳解】由得，即，，解得，∵，∴；【小問2詳解】，令，則當時，，，，在內(nèi)有且只有一個零點等價于在內(nèi)有且只有一個零點，在上無零點.∵a＞1，在內(nèi)為增函數(shù).①若在內(nèi)有且只有一個零點，內(nèi)無零點，故只需，解得；②若為的零點，內(nèi)無零點，則，得，經(jīng)檢驗，符合題意綜上，實數(shù)a的取值范圍是22、（1）證明見詳解（2）（3）存在，或或【解析】（1）將要證明問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，結(jié)合零點存在